您已经获得厂家对正价商品的赔偿后，仍然可以就赠品没有生产日期的问题要求商家进行赔偿。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律角度
消费者权益保护：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品时享有知悉其购买、使用的商品或者接受的服务的真实情况的权利，这包括商品的生产日期、保质期等关键信息。
- 商家提供的赠品同样属于商品范畴，应当符合相关法律法规对商品质量的要求，包括标注生产日期等必要信息。
商家责任：
- 商家作为商品的销售者，有义务确保所售商品（包括赠品）符合质量标准，并标注必要的信息。
- 如果商家提供的赠品没有生产日期，这可能构成对消费者知情权的侵犯，商家应当承担相应的法律责任。
二、赔偿请求的合理性
独立请求权：
- 您对正价商品的赔偿请求和对赠品没有生产日期的赔偿请求是两个独立的请求权。厂家对正价商品的赔偿并不影响您就赠品问题向商家提出赔偿请求。
赔偿范围：
- 对于赠品没有生产日期的问题，您可以要求商家承担更换、退货、赔偿损失等责任。具体的赔偿范围可能因实际情况而异，但通常包括因赠品问题给您造成的直接损失和合理费用。
三、实际操作建议
与商家协商：
- 首先，您可以尝试与商家进行协商，说明赠品没有生产日期的问题，并提出您的赔偿要求。如果商家同意赔偿，那么问题可以得到迅速解决。
向消费者协会投诉：
- 如果与商家协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会可以为您提供调解服务，并帮助您维护合法权益。
提起诉讼：
- 如果通过协商和投诉都无法解决问题，您还可以考虑向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供相关证据证明商家提供的赠品没有生产日期，并要求商家承担相应的法律责任。
四、注意事项
- 在提出赔偿请求时，请确保您有充分的证据证明赠品没有生产日期，并且这个问题给您造成了实际损失或不便。
- 赔偿请求应当合理且合法，不要提出过高的赔偿要求或采取不正当的手段来维护自己的权益。
总结与建议：您已经获得厂家对正价商品的赔偿后，仍然可以就赠品没有生产日期的问题要求商家进行赔偿。建议您先与商家进行协商，如果协商无果，可以向消费者协会投诉或提起诉讼来维护自己的合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。