当交通事故遇上医疗事故时，患者或其家属可以分别针对交通事故责任方和医疗机构提起侵权赔偿之诉，以维护自身合法权益。以下从不同角度为您详细分析：

一、交通事故赔偿角度

在交通事故中，如果因他人的过错导致您受伤，您有权要求交通事故的责任方承担赔偿责任。这包括但不限于医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等因治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还可以要求赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金；如果造成死亡，还可以要求赔偿丧葬费和死亡赔偿金。

赔偿流程：

1. 报警并固定证据：发生交通事故后，应立即报警，并保护好现场，以便交警部门进行事故责任认定。
2. 协商或诉讼：根据事故责任认定书，与责任方进行协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向法院提起诉讼，要求责任方承担赔偿责任。

二、医疗事故赔偿角度

如果在交通事故后接受医疗机构的治疗过程中，因医疗机构的过错导致您遭受了额外的损害，您有权要求医疗机构承担医疗事故的赔偿责任。这包括但不限于因医疗过错导致的额外医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、死亡赔偿金等。

赔偿要点：

1. 医疗过错认定：需要证明医疗机构在诊疗过程中存在过错，且该过错与您的损害后果之间存在因果关系。这通常需要通过医疗事故鉴定或司法鉴定来完成。
2. 赔偿范围：根据医疗过错的性质和程度，以及您的实际损害情况，确定赔偿的范围和金额。

赔偿流程：

1. 封存病历并申请鉴定：发现医疗过错后，应及时封存病历，并向卫生行政部门或司法鉴定机构申请医疗事故鉴定或司法鉴定。
2. 协商或诉讼：根据鉴定结果，与医疗机构进行协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向法院提起诉讼，要求医疗机构承担赔偿责任。

三、交通事故与医疗事故竞合时的处理

在实际情况中，可能会遇到交通事故与医疗事故竞合的情况，即同一损害后果由交通事故和医疗事故共同导致。在这种情况下，您需要分别针对交通事故责任方和医疗机构提起侵权赔偿之诉。法院会根据各自的过错程度和原因力大小，来确定各自应承担的赔偿责任比例。

处理建议：

1. 及时取证：在发生交通事故和医疗事故后，应及时取证，包括报警记录、事故责任认定书、病历资料、鉴定意见等。
2. 分别起诉：根据事故性质和损害后果，分别向交通事故责任方和医疗机构提起侵权赔偿之诉。
3. 注意诉讼时效：根据法律规定，人身损害赔偿的诉讼时效期间为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。因此，应及时行使诉讼权利，以免超过诉讼时效期间。

四、实际案例参考

以您提供的案例为例，王某在交通事故后入院治疗，又因医疗机构的过错导致昏迷并最终死亡。法院根据鉴定意见和实际情况，认定医疗机构在2021年5月13日的诊疗行为存在过错，并与王某的“睁眼昏迷”和死亡后果具有因果关系，因此判决医疗机构承担全部赔偿责任。这充分说明了在交通事故与医疗事故竞合的情况下，患者或其家属有权分别针对交通事故责任方和医疗机构提起侵权赔偿之诉，并获得相应的赔偿。

最后，我想强调的是，在处理交通事故与医疗事故竞合的案件时，需要综合考虑各种因素，包括事故性质、损害后果、过错程度、原因力大小等。如果您或您的家人遇到了类似的情况，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身合法权益。您可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。