在刑事诉讼一审过程中，若检察院起诉的罪名与法院最终认定的罪名不一致，法院会遵循一系列严谨且公正的程序来处理这一问题，以确保司法公正和各方诉讼权利的保障。

首先，法院不会直接按照检察院起诉的罪名进行判决。相反，法院会依据审理过程中查明的事实和相关法律规定，独立、客观地作出自己认定的罪名判决。这是法院行使审判权的重要体现，也是确保案件得到公正处理的关键。

当法院经审理发现指控罪名与自己认定的罪名存在差异时，会主动听取控辩双方的意见。这一步骤至关重要，因为它为被告人及其辩护人提供了充分行使辩护权的机会。被告人和辩护人可以就事实情况、证据的有效性、法律适用是否恰当等多方面进行辩驳，以维护被告人的合法权益。

在必要的情况下，法院还会重新开庭，让控辩双方围绕新的罪名展开辩论。这一举措进一步确保了审判的公正性和透明度，使得双方都能在充分了解案件事实和法律适用的基础上，进行有针对性的辩护。

如果被告人和辩护人对法院拟认定的罪名持有不同看法，他们可以在庭审中充分发表辩护意见。法院会认真听取并考虑这些意见，在最终作出判决时予以充分考虑。

此外，如果被告人对最终的判决结果不满意，其有权在法律规定的期限内提出上诉。通过二审程序，被告人可以进一步维护自己的合法权益，确保案件得到更加公正的处理。

以具体案例为例，假设检察院以诈骗罪对被告人提起公诉，但在法庭审理过程中，法院经审理查明被告人的行为更符合合同诈骗罪的构成要件。此时，法院会听取检察院和被告人及其辩护人的意见，必要时重新开庭进行辩论。如果被告人和辩护人对法院拟认定的合同诈骗罪有异议，他们可以在庭审中从事实、证据、法律适用等方面进行辩驳。最终，如果被告人对判决结果不服，他有权在法定期限内提出上诉。

综上所述，当检察院起诉罪名与法院不一致时，法院会依据审理查明的事实和相关法律规定作出自己认定的罪名判决，并主动听取控辩双方的意见，必要时重新开庭进行辩论，以确保司法公正和各方诉讼权利的保障。