当遇到侵害名誉权且对方拒不道歉的情况时，您可以采取以下步骤来维护自己的合法权益：
一、收集证据
首先，您需要收集并保存所有与名誉权侵害相关的证据。这包括但不限于：
- 聊天记录：如果对方是通过微信、短信等电子方式进行的侮辱或诽谤，请保存好这些聊天记录。
- 社交媒体截图：如果对方在社交媒体上发布了侮辱性言论或图片，请截图保存。
- 证人证言：如果有目击者或知情人士，可以请他们提供证言。
- 其他相关证据：如录音、录像等，只要能证明对方侵害了您的名誉权，都可以作为证据。
二、与对方协商
在收集到足够证据后，您可以尝试与对方进行协商，要求其停止侵害并公开道歉。如果对方愿意配合，那么问题可能就此解决。但根据您的描述，对方可能并不愿意道歉，这时您就需要考虑采取法律手段。
三、向法院提起诉讼
如果协商无果，您可以向法院提起名誉权侵权诉讼。在诉讼过程中，您需要：
- 提交起诉状：明确您的诉讼请求，即要求对方停止侵害、公开道歉并赔偿损失。
- 提交证据：将之前收集到的所有证据提交给法院，以证明对方确实侵害了您的名誉权。
- 参加庭审：在庭审过程中，您需要陈述事实、提供证据，并回答法官和对方律师的提问。
四、法院判决与执行
如果法院认定对方确实侵害了您的名誉权，那么法院会作出判决，要求对方停止侵害、公开道歉并赔偿损失。如果对方仍然拒不履行判决，您可以向法院申请强制执行。
在执行过程中，法院可能会采取以下措施：
- 劝说与调解：法院可能会先尝试劝说对方履行判决，或者组织双方进行调解。
- 强制执行：如果对方仍然拒不履行，法院可能会采取强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，或者对对方进行司法拘留。
- 公开致歉：根据判决要求，对方可能需要在特定平台（如社交媒体、村委公示栏等）发布致歉声明，并保留一定时间。
五、法律依据
在处理此类问题时，您可以依据《中华人民共和国民法典》的相关规定来维护自己的权益。特别是第一千零二十四条关于名誉权的规定，以及第一百七十九条关于承担民事责任的方式的规定。
六、建议与提醒
- 保持冷静：在处理此类问题时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为。
- 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉，可以寻求律师或法律援助机构的帮助。
- 尊重法律：无论结果如何，都请尊重法律和法院的判决，不要采取任何违法或挑衅的行为。
希望以上建议能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。