公安机关适用法律错误，相关责任人员可能承担的责任主要包括刑事责任、行政纪律责任以及其他处理措施。以下是对这些责任的详细分析：

一、刑事责任

当公安机关的人民警察在执法过程中因故意或重大过失适用法律错误，且该错误行为构成犯罪时，相关责任人员需承担刑事责任。例如，若因适用法律错误导致无辜者被错误追究刑事责任，或放纵了真正的犯罪者，且这些行为符合刑法中相关犯罪的构成要件，如玩忽职守罪、滥用职权罪等，那么相关责任人员将依法被追究刑事责任。

二、行政纪律责任

对于不构成犯罪但违反行政纪律的执法过错行为，公安机关将依据《行政机关公务员处分条例》和《公安机关人民警察纪律条令》等规定，对相关责任人员给予行政纪律处分。这些处分包括但不限于警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。行政纪律责任的追究旨在维护公安机关的纪律性和公信力，确保人民警察依法履行职责。

三、其他处理措施

除了刑事责任和行政纪律责任外，公安机关还可以根据执法过错的情节和后果，对相关责任人员采取其他处理措施。这些措施包括但不限于：

1. 诫勉谈话：对轻微执法过错的责任人员进行口头或书面的告诫和勉励，促使其认识错误并改正。
2. 责令作出书面检查：要求责任人员就执法过错行为写出书面检查，分析错误原因并提出整改措施。
3. 取消评选先进的资格：在一定期限内取消责任人员参与先进评选的资格，以示惩戒。
4. 通报批评：在公安机关内部或一定范围内对责任人员的执法过错行为进行通报，以儆效尤。
5. 停止执行职务：对严重执法过错的责任人员暂时停止其执行职务的权力，以进行进一步的调查和处理。
6. 延期晋级、晋职或者降低警衔：根据执法过错的情节和后果，延期责任人员的晋级、晋职时间或降低其警衔等级。
7. 引咎辞职、责令辞职或者免职：对造成严重后果的执法过错责任人员，可要求其引咎辞职、责令辞职或予以免职。
8. 限期调离公安机关：在一定期限内将责任人员调离公安机关，以避免其继续从事执法工作可能带来的负面影响。
9. 辞退或者取消录用：对严重违反纪律或造成重大损失的执法过错责任人员，可予以辞退或取消其录用资格。

四、特别情形

• 国家赔偿责任：若公安机关的执法过错行为导致国家赔偿，除了追究相关责任人员的执法过错责任外，还需依照《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，向有关责任人员追偿部分或全部赔偿费用。
• 从重或从轻、减轻、免予追究的情形：根据执法过错的性质、情节和后果，以及责任人员的态度和行为，可依法从重或从轻、减轻、免予追究其责任。例如，因贪赃枉法、徇私舞弊等故意行为造成执法过错的，应从重追究责任；而因轻微过失造成执法过错且主动承认错误并及时纠正的，可从轻或减轻追究责任。

总结来看，公安机关适用法律错误时，相关责任人员可能承担的责任是多方面的，包括刑事责任、行政纪律责任以及其他处理措施。这些责任的追究旨在维护法律的尊严和公安机关的公信力，确保人民警察依法履行职责。若您遇到相关问题，可以直接向我咨询。