员工已死亡，其家属或相关权益人仍然可以依法申请补发加班费，这一行为是合法的。以下从不同角度对此问题进行详细分析：

一、法律基础

根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，劳动者享有获得劳动报酬的权利，这包括正常工作时间内的工资以及加班工资。当员工因工作原因死亡时，其依法享有的劳动报酬权利并不因此而消灭。家属或相关权益人有权依据法律规定，向用人单位主张死者生前应得的加班费。

二、申请主体与程序

1. 申请主体：通常为员工的第一顺序继承人，即配偶、子女、父母。如果员工没有第一顺序继承人，则由第二顺序继承人，如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等申请。在某些情况下，如果员工生前有遗嘱指定了受益人，那么该受益人也有权申请。
2. 申请程序：家属或相关权益人应首先收集相关证据，如加班记录、工资单等，以证明员工生前存在加班事实且未获得相应加班费。然后，可以向用人单位提出书面申请，要求补发加班费。如果用人单位拒绝或未予答复，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

三、可能面临的挑战与应对策略

1. 证据收集困难：由于员工已死亡，收集加班证据可能变得困难。此时，家属或相关权益人应尽可能寻找其他证据，如同事证言、电子邮件、工作记录等，以证明加班事实。
2. 用人单位拒绝支付：如果用人单位拒绝支付加班费，家属或相关权益人应坚持通过法律途径解决。可以寻求劳动监察部门的帮助，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
3. 诉讼风险：虽然法律赋予了家属或相关权益人申请补发加班费的权利，但诉讼过程中仍存在一定风险。因此，在提起诉讼前，应充分评估证据的充分性和法律适用的准确性。

四、法律后果与赔偿

如果法院最终认定用人单位应支付加班费而未支付，那么用人单位将面临支付加班费及可能的经济补偿或赔偿金的法律后果。具体赔偿金额将根据加班时间、工资标准以及法律规定进行计算。

总结与建议：员工已死亡时，其家属或相关权益人仍然可以依法申请补发加班费。在申请过程中，应充分收集证据，坚持通过法律途径解决争议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。