当肇事司机与车主之间存在雇佣关系，并且发生了交通事故时，我们可以从以下几个方面来详细分析和处理：
一、交通事故责任划分
车主责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当提供劳务一方（即驾驶员）因劳务造成他人损害时，由接受劳务一方（即车主）承担侵权责任。这意味着，在大多数情况下，如果驾驶员在工作中发生了交通事故并导致第三方受伤，车主需要承担相应的赔偿责任。
驾驶员责任：
- 如果驾驶员在事故中存在故意或重大过失，车主在承担赔偿责任后，有权向驾驶员进行追偿。这要求驾驶员在工作中必须尽到合理的注意义务，避免因疏忽或故意行为导致事故发生。
二、驾驶员自身受伤的责任划分
车主过错：
- 如果驾驶员在提供劳务期间自身受到损害，且损害是由于车辆存在隐患或车主的其他过错导致的，那么车主需要承担相应的责任。例如，如果车辆刹车故障导致驾驶员受伤，且该故障是由于车主未及时维修或保养车辆造成的，那么车主应承担责任。
驾驶员过错：
- 如果驾驶员自身操作违规也是受伤的因素之一，那么驾驶员自身也需要承担部分责任。这要求驾驶员在工作中必须遵守交通规则和操作规程，确保自身安全。
三、预防纠纷的建议
签订书面雇佣合同：
- 为了明确双方的权利和义务，预防纠纷的发生，建议车主和驾驶员签订书面雇佣合同。合同中应详细规定双方的责任、义务、赔偿方式等条款，以便在发生事故时能够有据可查。
购买保险：
- 车主应为车辆购买足够的保险，包括交强险和商业险等。这样，在发生事故时，保险公司可以承担部分或全部赔偿责任，减轻车主的经济负担。
加强安全教育和培训：
- 车主应定期对驾驶员进行安全教育和培训，提高驾驶员的安全意识和操作技能。这有助于减少事故的发生，保障驾驶员和第三方的安全。
四、实际案例分析
以您提供的案例为例：小何雇佣小许为其开车，一次工作中小许驾车发生交通事故致使路人小丽受伤。根据法律规定，小何作为车主需要承担对小丽的赔偿责任。但如果小许存在故意或重大过失（如酒驾、超速等），小何在承担赔偿责任后有权向小许追偿。另外，如果小许在出车时因车辆刹车故障受伤，且该故障是由于小何未及时维修车辆造成的，那么小何需要承担相应的责任；但如果小许自身操作违规也是受伤的因素之一，那么小许自身也需要承担部分责任。
综上所述，当肇事司机与车主之间存在雇佣关系并发生交通事故时，我们需要根据法律规定和实际情况来划分责任，并采取相应的预防措施来减少纠纷的发生。