基于同一刑事犯罪，一般不可以多次提起刑事附带民事公益诉讼，但存在特殊情形。以下从不同角度进行分析：
一、一般原则：“一事不再理”
在刑事诉讼领域，“一事不再理”是一项重要原则。这意味着对于同一刑事犯罪行为，一旦经过法院的生效判决，确定了相应的事实和法律关系，就不能再次就同一事实和理由提起诉讼。这一原则旨在维护司法的稳定性和权威性，避免对同一案件进行重复审理，浪费司法资源，同时也保障了当事人的合法权益，防止其受到不必要的诉讼困扰。
例如，如果一个刑事犯罪案件已经经过了一审、二审，最终判决生效，那么就不能再以相同的犯罪事实和理由，再次提起刑事附带民事公益诉讼。因为此时，该犯罪行为所涉及的法律责任和赔偿等问题，已经通过之前的诉讼程序得到了解决。
二、特殊情形：审判监督程序与新情况
虽然“一事不再理”原则是通用的，但也存在一些特殊情形，允许对同一刑事犯罪行为进行再次审查或追诉，但这并不等同于多次提起刑事附带民事公益诉讼。
审判监督程序：如果发现原判决在事实认定或法律适用上存在错误，比如原判决对犯罪事实的认定有误，或者遗漏了应当追究的罪行等，那么可以启动审判监督程序。这是通过抗诉或再审的方式，对已经生效的判决进行重新审查，以纠正错误。但需要注意的是，这并不是对同一案件的二次起诉，而是对原判决的纠正程序。例如，检察院发现法院对某一刑事犯罪的判决在量刑上明显不当，或者遗漏了重要的犯罪事实，就可以按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉，要求重新审理。
新情况或新证据：在刑事诉讼中，如果出现了新的证据，证明原判决、裁定确有错误，或者发现了新的犯罪事实，那么司法机关可以再次启动刑事诉讼程序。但这同样不是对同一案件的多次起诉，而是基于新情况对案件进行的重新审查。比如，在某一刑事犯罪案件判决生效后，又发现了犯罪嫌疑人在该犯罪行为中还涉及了其他未被追究的罪行，或者有新的证据表明原判决对犯罪事实的认定存在重大偏差，那么就可以根据新情况对案件进行重新处理。
三、刑事附带民事公益诉讼的特殊性
刑事附带民事公益诉讼是一种特殊的诉讼形式，它结合了刑事诉讼和民事公益诉讼的特点。在刑事附带民事公益诉讼中，既要追究犯罪嫌疑人的刑事责任，又要对其犯罪行为给社会公共利益造成的损害进行赔偿。然而，由于它仍然属于刑事诉讼的范畴，因此也受到“一事不再理”原则的限制。
如果已经就某一刑事犯罪行为提起了刑事附带民事公益诉讼，并且法院已经作出了生效判决，那么就不能再次以相同的犯罪事实和理由提起该诉讼。除非存在上述的特殊情形，即原判决存在错误或者出现了新的情况，需要通过审判监督程序或重新启动刑事诉讼程序来进行处理。
建议：在实际操作中，如果对某一刑事犯罪行为是否可以提起刑事附带民事公益诉讼存在疑问，或者认为存在需要重新审查的特殊情形，应当及时咨询专业的律师或法律机构，进行详细的法律分析和评估。如果有任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和帮助。