原告死亡后，其继承人可以申请执行的相关法律规定主要依据《中华人民共和国民事诉讼法》及继承法的相关规定。具体分析如下：

一. 原告死亡后继承人的诉讼地位

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照法定顺序继承，首先由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）继承。若原告死亡，其诉讼地位由其法定继承人承继，继承人可以依法参与诉讼。

二. 继承人申请执行的法律依据

• 《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定：虽然该法第二百五十三条直接规定的是被执行人财产的执行，但在诉讼过程中，若原告死亡，其继承人作为权利承继者，有权依据原告的诉讼地位继续申请执行，以维护继承人的合法权益。
• 继承权的实现：继承人承继了原告的诉讼地位后，也就承继了原告在诉讼中的所有权利和义务，包括申请执行的权利。这是基于继承法的基本原则，即继承人继承被继承人的全部财产权利和义务。

三. 实际操作中的注意事项

• 继承人需要向法院提供原告死亡的相关证明，以及自己是合法继承人的证明，如继承权公证书或法院作出的继承权判决等。
• 继承人申请执行时，应明确执行标的，即原告在诉讼中主张的权益，并提供相关证据支持。

我建议：在实际操作中，继承人应咨询专业律师，确保提供充分的证据材料，并遵循法院的指导进行申请执行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。