结论前置：您可先与对方监护人协商赔偿，协商不成可通过诉讼解决，同时可要求学校承担相应责任。以下是具体分析：
一、责任主体分析
- 打人同学及其监护人：根据《民法典》第一千一百八十八条，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。打伤您眼睛的同学若未成年，其父母作为监护人需承担赔偿责任。
- 学校责任：若学校未尽到教育、管理职责（如未及时发现并制止冲突、未开展安全教育等），根据《民法典》第一千二百条，学校应承担相应责任。但需注意，若学校能证明已尽到职责，则不承担责任。
二、赔偿项目及依据
- 医疗费：即使检查无大碍，已产生的检查费、药费等可要求赔偿。需保留发票、诊断证明等证据。
- 交通费：因就医产生的合理交通费用可主张。
- 护理费：若需家人陪同就医或护理，可主张护理费（需提供医嘱或护理证明）。
- 营养费：根据医嘱或实际需要，可主张适当营养费。
- 精神损害抚慰金：若眼睛受伤对您造成严重精神损害（如影响外观、视力等），可主张精神损害赔偿，但需结合伤情和当地司法实践。
三、索赔流程
- 协商解决：
- 与打人同学家长沟通，说明伤情和赔偿要求，争取达成和解。
- 可要求学校协助调解，推动双方协商。
- 诉讼途径：
- 若协商无果，可向法院提起民事诉讼，起诉打人同学及其监护人。
- 若认为学校存在过错，可同时起诉学校（需提供学校未尽职责的证据）。
- 证据收集：
- 医疗记录（诊断证明、检查报告、发票等）。
- 现场目击者证言（如有）。
- 学校监控录像（如有）。
- 沟通记录（如与对方家长、学校的协商记录）。
四、注意事项
- 及时行动：人身损害赔偿诉讼时效为三年，自知道或应当知道权利受损之日起计算，建议尽快处理。
- 合理主张：赔偿金额需结合实际损失和证据，避免过高或过低主张。
- 学校角色：学校非直接侵权人，但若存在管理疏漏，可能承担补充责任，需根据具体情况判断。
建议：先尝试与对方家长协商，若协商不成，可委托律师协助收集证据并提起诉讼。如有进一步问题，可直接向我咨询。