在“首违不罚”的情况下，行政机关应当出具的是《不予行政处罚决定书》，而非行政检查决定书。以下是对此问题的详细分析：

一、“首违不罚”的法律依据与原则

根据2021年修订的《行政处罚法》第三十三条的规定，“首违不罚”是指初次违法且危害后果轻微并及时改正的，可以不予行政处罚。这一规定体现了行政处罚法处罚与教育相结合的原则，旨在给予当事人改正的机会，提高守法自觉和执法认同，减少或消除为罚而罚、过度处罚等现象。

二、“首违不罚”的适用条件

判断违法行为是否可以“首违不罚”，必须符合三个要件：

1. 初次违法：当事人在一定时间范围内，在同一领域、同一空间内第一次有某种违法行为。
2. 危害后果轻微：违法行为造成的危害后果不严重，未对社会或他人造成显著影响。
3. 及时改正：违法行为人及时采取措施纠正违法行为，避免危害后果的扩大。

三、行政机关在“首违不罚”情况下的处理方式

在符合“首违不罚”条件的情况下，行政机关应当出具《不予行政处罚决定书》。这一决定书是对违法行为人的一种正式告知，表明其违法行为虽然存在，但鉴于其初次违法、危害后果轻微且及时改正，因此不予行政处罚。

四、行政检查决定书与不予行政处罚决定书的区别

• 行政检查决定书：通常是行政机关在进行行政检查时，对检查对象、检查内容、检查时间等事项作出的决定。它并不直接涉及对违法行为的处罚与否。
• 不予行政处罚决定书：则是行政机关在认定违法行为符合“首违不罚”条件时，作出的不予处罚的决定。这一决定书直接关联到违法行为的处理结果。

五、实践中的案例与启示

在实践中，已有多个案例表明，在符合“首违不罚”条件的情况下，行政机关会出具《不予行政处罚决定书》。例如，某市交通委员会执法总队在检查中发现某客运有限公司的客车等级评定时间间隔超期，但鉴于该公司是初次违法、后一次等级评定合格且时间超期不到30天、配合执法且立即采取措施避免再次出现违法行为、车辆也没有发生交通事故等危害后果，因此依法对其不予处罚，并出具了《不予行政处罚决定书》。

总结与建议：

在“首违不罚”的情况下，行政机关应当出具的是《不予行政处罚决定书》。这一决定书既体现了行政机关对违法行为的正式认定和处理结果，也符合行政处罚法处罚与教育相结合的原则。如果你在实际操作中遇到相关问题，或者对“首违不罚”的适用条件、处理方式等有进一步疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律解答。