机关事业单位工作人员被判刑10个月，大概率会被开除公职，但具体结果需结合身份性质、犯罪性质等因素综合判断。以下从不同身份和犯罪情形角度为您详细分析：

一、公务员身份

1. 故意犯罪情形
   根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第十四条，公务员因故意犯罪被判处管制、拘役或有期徒刑以上刑罚（含宣告缓刑）的，必须予以开除。例如，公务员因贪污罪、受贿罪等故意犯罪被判刑10个月，无论刑期长短，均会被开除公职。

2. 过失犯罪情形
   若公务员因过失犯罪被判处三年以下有期徒刑（如交通肇事罪），一般应当予以开除；但若案件情况特殊（如犯罪情节轻微、有重大立功表现等），且报请上一级机关批准后，可以不予开除。不过，实践中被批准不予开除的情况极为罕见。

二、事业单位工作人员身份

1. 普通事业单位工作人员
   根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。因此，若普通事业单位工作人员被判刑10个月（属于有期徒刑），通常会被开除公职。
   例外情形：若犯罪情节显著轻微，或单位认为撤职处分更为适当，可能不予开除，但需严格依据规定并报上级批准。

2. 行政机关任命的事业单位工作人员
   此类人员只要被依法判处刑罚（无论故意或过失、刑期长短），均给予开除处分。例如，由行政机关任命的医院院长、学校校长等，若被判刑10个月，必然被开除。

三、关键影响因素

1. 刑罚类型与刑期
   有期徒刑（即使刑期较短）通常导致开除，而拘役、管制等较轻刑罚可能存在例外。但本案中判刑10个月属于有期徒刑，开除风险极高。

2. 犯罪性质
   故意犯罪（尤其是贪污贿赂、渎职侵权等）几乎必然开除；过失犯罪若情节严重（如重大责任事故），也可能被开除。

3. 单位规章制度
   部分单位可能制定更严格的内部规定，例如对特定岗位人员（如财务、涉密岗位）实行“零容忍”，一旦判刑即开除。

四、后续程序与影响

1. 处理程序
   单位需依据法院生效判决，经领导班子集体研究决定后作出处分决定，并报上级主管部门备案。被处分人员有权申请复核或申诉。

2. 法律后果
   开除公职后，将失去事业单位工作身份及相应待遇（如工资、社保、退休金等），档案中会记录处分信息，对未来就业、社会信用等产生长期影响。

五、建议与风险提示

1. 及时咨询专业律师
   若您或家人面临此类情况，建议尽快委托律师介入，争取从轻或减轻处分（如过失犯罪中争取撤职而非开除）。

2. 关注单位内部规定
   部分单位可能对判刑人员有额外处理要求（如提前解除聘用合同），需提前了解并应对。

3. 重视刑事辩护
   在刑事诉讼阶段，积极争取缓刑、免予刑事处罚等结果，可能间接影响公职去留。

总结：机关事业单位工作人员被判刑10个月，开除公职的可能性极大，但具体结果需结合身份、犯罪性质及单位规定综合判断。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件处理方案。