当犯罪嫌疑人在检察院起诉期间死亡时，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察院会作出不起诉的决定。这是因为，一旦犯罪嫌疑人死亡，刑事诉讼就失去了适用的对象，刑罚具有人身专属性，无法对已经死亡的人实施刑罚，因此再追究其刑事责任已经没有实际意义。

具体处理方式如下：

1. 刑事责任方面：

   • 检察院会作出不起诉的决定，终止对死亡犯罪嫌疑人的刑事追诉程序。

2. 民事责任方面：

   • 虽然刑事责任不再追究，但民事责任仍然可以追究。犯罪嫌疑人的合法继承人在继承遗产的范围内，需要承担相应的民事责任。
   • 如果已经提起了附带民事诉讼而犯罪嫌疑人死亡的，附带民事诉讼部分仍可以继续，只需变更被告为他的继承人即可。
   • 如果犯罪嫌疑人死亡时尚未提起附带民事诉讼的，则相关方可以另行提起民事诉讼。

3. 财物处置方面：

   • 对于案件中查封、扣押、冻结的犯罪嫌疑人的财物及其孳息，需要按照法律规定进行处理。
   • 如果是被害人的合法财产，应当及时返还给被害人。
   • 如果是需要没收的违法所得及其他涉案财产，检察院可以向法院提出没收违法所得的申请。

举例说明： 假设某人因涉嫌某罪被检察院提起公诉，但在公诉阶段该人突发疾病死亡。此时，检察院会依据法律规定作出不起诉的决定，终止对该人的刑事追诉程序。同时，如果该人有合法继承人，且案件涉及民事责任，那么相关方可以依法追究其继承人的民事责任。另外，对于该人被查封、扣押、冻结的财物，也需要按照法律规定进行返还或没收处理。

综上所述，当犯罪嫌疑人在检察院起诉期间死亡时，检察院会作出不起诉的决定，并依法处理相关的民事责任和财物处置问题。