超市偷盗商家不可以私自处罚。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律层面
刑事责任：
- 偷盗行为如果达到了刑事立案标准，即盗窃公私财物价值达到一定数额（具体数额标准各地区可根据经济发展状况和社会治安状况确定，一般为一千元至三千元以上），则构成盗窃罪，应由公安机关依法立案侦查，并由检察院提起公诉，法院进行审判。商家无权私自对偷盗者进行刑事处罚。
行政责任：
- 即使盗窃数额未达到刑事立案标准，但如果符合给予行政处罚的条件，如盗窃公私财物数额较小但情节恶劣，或者多次盗窃等，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，盗窃者将面临拘留和罚款等行政处罚。这种情况下，商家同样没有权力决定是否对偷盗者进行处罚，而是应由公安机关依法处理。
民事责任：
- 在民事方面，偷盗行为确实侵害了超市的财产权。对于由此产生的民事赔偿责任，双方可以进行协商，即偷盗者愿意按照商品价值进行赔偿，而超市也接受这种赔偿方式。但需要注意的是，这种协商仅限于民事赔偿部分，不涉及刑事责任或行政处罚，且商家不得以此为由对偷盗者进行私自处罚。
二、商家私自处罚的后果
违法性：
- 商家私自处罚偷盗者，如实施“偷一罚百”等潜规则，或者以报警及通知家属为由威逼利诱偷盗者拿出高额罚款，这种行为不仅违反了法律原则，还可能构成敲诈勒索等犯罪行为。例如，有超市店主因涉嫌敲诈勒索被警方刑事拘留的案例。
不良后果：
- 商家私自处罚偷盗者可能会引发一系列不良后果，如鼓励其他小偷继续实施类似行为，认为可以通过私了来逃避法律制裁；或者导致不公平的结果，因为双方在协商过程中可能存在信息不对称或权力不平衡的情况。
三、正确做法
立即报警：
- 如果发现有人在超市偷盗，商家应立即报警并由警方进行调查和处理。商家可以配合警方提供相关证据和信息，以便警方能够依法追究偷盗者的法律责任。
加强安全防范：
- 商家也应加强安全防范措施，如增加监控设备、加强员工培训等，以减少类似事件的发生。
建议：作为商家，在面对偷盗行为时，务必保持冷静和理性，不要采取私自处罚等违法行为。而是应该通过合法途径来维护自己的权益，如立即报警并配合警方调查处理。如果您在处理此类事件时遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。