公司拒绝出具解除或终止劳动合同证明是违法的，劳动者有权通过多种途径要求公司出具，并可就因此造成的损失要求赔偿。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：
一、法律依据与权利明确
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，应当向劳动者出具解除或终止劳动合同的证明。这是用人单位的法定义务，也是劳动者办理后续手续（如失业登记、社保转接、入职新单位等）的重要依据。因此，公司拒绝出具证明的行为违反了法律规定，劳动者有权要求公司履行义务。
二、与公司协商沟通
直接沟通：
- 劳动者可以首先尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行友好沟通，明确指出公司有义务出具解除或终止劳动合同的证明，并强调该证明对劳动者的重要性。
- 在沟通过程中，保持冷静和理性，避免情绪化表达，以促成问题的妥善解决。
书面催告：
- 如果直接沟通无果，劳动者可以通过电子邮件、邮寄书面函件等方式正式催告公司出具证明，并限定合理期限。
- 书面催告应明确陈述劳动合同已解除或终止的事实、公司应出具证明的法律依据及潜在影响，并保留好邮件发送记录、快递单据等作为凭证。
三、向劳动监察部门投诉
投诉途径：
- 劳动者可以向当地人力资源和社会保障局劳动监察大队进行投诉，投诉途径包括电话、书面材料或政务服务网渠道。
投诉内容：
- 详细说明个人信息、工作单位情况、劳动合同签订及解除或终止情况，以及公司拒绝出具证明的事实。
- 要求劳动监察部门责令公司限期改正，并可依法对公司进行处罚。
处理期限：
- 劳动监察部门将在一定期限内（通常不超过60个工作日）进行调查核实并给予答复。
四、申请劳动仲裁
提交申请：
- 如果劳动监察未能解决问题，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 申请书应写明双方当事人的基本信息、仲裁请求（要求公司出具解除或终止劳动合同证明书及赔偿损失）、事实和理由，并附上相关证据材料。
仲裁程序：
- 仲裁委员会受理申请后，将安排开庭审理。劳动者需要在庭审中充分陈述诉求和事实依据，公司也会进行答辩。
- 仲裁委员会将根据双方提供的证据和庭审情况作出裁决。
五、提起诉讼
起诉条件：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，或者公司拒不执行仲裁裁决，劳动者可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
诉讼程序：
- 准备起诉状、仲裁裁决书及相关证据，向有管辖权的人民法院提交起诉材料。
- 法院将依据事实和法律作出最终判决，并可通过强制执行等手段确保公司履行出具证明的义务。
六、保留相关证据
在整个维权过程中，劳动者应妥善保留与公司的所有相关沟通记录（如聊天记录、电话录音）、工作凭证（如工资条、考勤记录）及解除或终止劳动合同的相关证据（如离职通知、工作交接记录）。这些证据在后续维权中将发挥重要作用，有力证明劳动关系及公司的不当行为。
七、注意事项
- 时效问题：务必在规定的时效内进行维权操作，避免因时间过长而影响权益的保障。
- 理性维权：通过合法途径理性维权，避免采取过激行为，以免给自己带来不必要的麻烦。
总结来看，面对公司拒绝出具解除或终止劳动合同证明的情况，劳动者应依法维权，通过协商、投诉、劳动仲裁和诉讼等途径维护自己的合法权益。在整个过程中，务必注意保留证据、遵守时效规定，并通过合法途径理性维权。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。