针对您提出的“未成年孩子父亲判刑，母亲是否可以申请唯一法定监护人”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的规定，父母是未成年子女的法定监护人。这意味着，在正常情况下，父母双方共同承担对未成年子女的监护职责。
然而，当出现特殊情况，如父亲因犯罪被判刑，导致其无法履行监护职责时，监护权的安排就需要根据实际情况进行调整。在这种情况下，母亲作为另一方法定监护人，理论上仍然承担着对未成年子女的监护责任。但问题中的“申请唯一法定监护人”表述，实际上在法律上并不直接对应一个明确的申请流程，因为母亲本身在父亲无法履行职责时，就自然成为了主要的监护人。
不过，如果母亲希望明确自己的监护人地位，或者遇到其他有监护资格的人（如祖父母、外祖父母等）也主张监护权，且双方无法达成一致时，可以通过法律途径来解决。具体来说，可以按照以下步骤进行：
协商与调解：首先，母亲可以与其他有监护资格的人进行协商，尝试达成一致的监护安排。如果协商无果，可以寻求社区、妇联等组织的调解。
申请法院指定：如果协商和调解均无法解决问题，母亲可以向法院提出申请，要求法院指定自己为唯一法定监护人。法院在审理此类案件时，会综合考虑未成年子女的利益、监护人的监护能力、与被监护人的关系等因素，作出最有利于被监护人的判决。
法院判决与执行：如果法院判决母亲为唯一法定监护人，那么母亲就需要承担起对未成年子女的全部监护责任。同时，如果其他有监护资格的人对判决有异议，可以通过法律途径进行申诉。
此外，还需要注意的是，如果母亲本身也存在无法履行监护职责的情况（如失联、无监护能力等），那么法院可能会根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，撤销其监护人资格，并指定其他有监护能力的人或组织作为监护人。
最后，我想强调的是，无论监护权如何安排，未成年子女的利益始终是第一位的。在处理此类问题时，我们应该始终以未成年子女的健康成长为出发点和落脚点。希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。