当监护人不履行其监护职责时，处理方式主要依据相关法律法规进行，以下是对此问题的详细解答：

首先，我们要明确的是，监护人负有保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益的职责。如果监护人不履行这些职责，或者侵害了被监护人的合法权益，那么他们是需要承担法律责任的。

具体来说，当监护人严重不履行监护职责，给未成年被监护人造成不利影响时，根据相关申请，人民法院有权撤销监护人的资格。这一措施旨在保护被监护人的权益，防止他们因监护人的失职而受到进一步的伤害。

同时，如果监护人不履行职责或者侵害了被监护人的合法权益，并给被监护人造成了财产损失，那么监护人应当承担赔偿责任。这是法律对监护人失职行为的一种经济制裁，旨在弥补被监护人因监护人失职而遭受的损失。

另外，在发生突发事件等紧急情况，导致监护人暂时无法履行监护职责时，被监护人的生活可能会处于无人照料的状态。此时，被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门应当承担起责任，为被监护人安排必要的临时生活照料措施，以确保他们的基本生活需求得到满足。

综上所述，当监护人不负责时，处理方式主要包括：由人民法院根据申请撤销监护人的资格、要求监护人承担赔偿责任，以及在紧急情况下由居民委员会、村民委员会或者民政部门为被监护人安排临时生活照料措施。这些措施共同构成了对监护人失职行为的法律规制和保护被监护人权益的制度体系。