结论前置：申请执行人死亡后，其继承人放弃继承权的条件主要包括时间条件、形式条件、主体条件及其他条件。继承人需严格遵守这些条件，否则放弃继承权的行为可能无效。

一、时间条件

1. 继承开始后：根据《民法典》第一千一百二十一条，继承从被继承人死亡时开始。因此，继承人放弃继承权的表示必须在被继承人死亡后作出。
2. 遗产处理前：放弃继承权的表示应在遗产处理前作出。遗产处理指对遗产进行分割、分配、转移所有权等行为。一旦遗产处理完毕，再表示的放弃即针对所有权而非继承权。例如，若遗产已被分配给其他继承人，此时再表示放弃，则视为放弃已取得的遗产所有权，而非继承权。

二、形式条件

1. 书面形式：根据《民法典》第一千一百二十四条，继承人应以书面形式作出放弃继承的表示，如声明书、协议书等，明确表明放弃意思，并注明遗产范围等信息。书面形式具有证据效力，便于证明继承人的真实意愿。
2. 口头形式（特定条件下）：在特定条件下，口头表示也可能被认可。例如，在诉讼中，继承人口头向法院表示放弃的，且在笔录中签名，该放弃也有效。在非诉讼场合，若口头表示放弃，且有充分证据证明（如录音、录像、证人证言等），且其他继承人认可的，也可能被认定为有效。但口头形式存在举证困难的风险，因此建议尽量采用书面形式。

三、主体条件

1. 具有完全民事行为能力：放弃继承权是重要民事法律行为，要求继承人具备完全民事行为能力。无民事行为能力人和限制民事行为能力人不能独立作出此意思表示，除非对其有利（如放弃继承可能导致其生活陷入困境，此时监护人可代为作出有利于被监护人的决定）。
2. 为真实意思表示：放弃继承必须是继承人内心真实意愿的体现，无欺诈、胁迫等情形。若继承人受欺诈、胁迫而放弃继承权的，可在法定期限内向法院请求撤销该行为。
3. 合法继承人：放弃继承的主体必须是与被继承人有直接血缘关系、婚姻关系或扶养关系的法定继承人，以及依法指定的遗嘱继承人、遗赠扶养协议中的扶养人。非合法继承人无权放弃继承权。

四、其他条件

1. 不得损害他人利益：放弃继承权不得损害国家、集体和他人的利益。例如，若放弃继承权导致继承人无法履行法定的抚养、扶养、赡养义务，或其他债务履行的，该放弃行为可能无效。
2. 不得部分放弃：继承权是一个整体权利，原则上不允许部分放弃。若继承人希望放弃部分遗产，应先继承后赠与。例如，若继承人希望放弃某套房产的继承权，但保留其他财产的继承权，此时应先继承所有遗产，再将该套房产赠与他人。
3. 效力追溯：放弃继承权的效力追溯到继承开始的时间，视为同时放弃应得遗产份额的所有权。这意味着，一旦放弃继承权，继承人即丧失对该部分遗产的所有权，不得再主张权利。

五、反悔与撤销

根据相关司法解释，遗产处理前或诉讼进行中，继承人对放弃继承反悔的，由法院根据其理由决定是否承认；遗产处理后反悔的，则不予承认。因此，继承人在作出放弃继承权的决定前，应慎重考虑，避免反悔。

法律建议：若您作为申请执行人的继承人，希望放弃继承权，请务必遵守上述条件，并尽量采用书面形式作出放弃表示。若您对放弃继承权的条件或程序存在疑问，或需要进一步了解相关法律后果，请直接向我咨询，我将为您提供专业的法律建议。