业务外包员工在产品质量记录上签字是否合法，需分情况讨论：

1. 若外包员工受公司正式委托或授权签字：

   • 在这种情况下，外包员工签字是合法的。因为公司有权根据业务需要，委托或授权其员工（包括外包员工）在特定文件上签字，以代表公司进行业务操作或确认。这种委托或授权应当是明确且具体的，确保外包员工在签字时能够准确理解并代表公司的意愿。

2. 若外包员工未经公司正式委托或授权签字：

   • 在这种情况下，外包员工签字可能构成无权代理，其法律效力存在不确定性。如果公司事后追认该签字行为，则签字有效；如果公司不追认，则签字行为对公司不发生法律效力，可能由签字的外包员工自行承担责任。此外，如果签字行为导致公司遭受损失，公司还有权要求签字的外包员工承担赔偿责任。

法律背景与建议：

• 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，代理人在代理权限内，以被代理人名义实施的民事法律行为，对被代理人发生效力。如果代理人没有代理权、超越代理权或者代理权终止后，仍然实施代理行为，未经被代理人追认的，对被代理人不发生效力。

• 建议：

  • 对于公司：应明确外包员工的职责和权限，避免未经授权的外包员工在重要文件上签字。如果需要外包员工在产品质量记录上签字，应当给予明确的委托或授权，并确保签字行为符合公司规定和法律法规要求。
  • 对于外包员工：在签字前应确认自己是否具有签字权限，避免未经授权擅自签字导致法律责任。如果对签字行为存在疑问或不确定，应及时向公司相关部门或负责人咨询并确认。

可能的法律后果：

• 如果外包员工未经授权签字且公司不追认，该签字行为对公司不发生法律效力，可能由签字的外包员工自行承担因签字行为产生的法律责任。
• 如果签字行为导致公司遭受损失，公司有权要求签字的外包员工承担赔偿责任，包括但不限于赔偿损失、支付违约金等。

综上所述，业务外包员工在产品质量记录上签字是否合法，取决于其是否具有签字权限以及公司是否追认该签字行为。因此，在实际操作中，公司应明确外包员工的职责和权限，避免不必要的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。