针对您提出的“灵活就业人员发现档案不全，向辞职了的原单位申请补档案是否需要公函”的问题，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，档案的管理和补充通常遵循一定的规定和流程。根据公开发布的信息，如《流动人员人事档案管理服务规定》等，档案的接收、查（借）阅、出具证明以及转递等服务都有明确的申请材料和办理流程。

对于您的情况，即作为灵活就业人员发现档案不全，需要向原单位申请补充档案，虽然直接的规定可能并未明确提及是否需要公函，但我们可以从档案管理的常规流程和原则出发进行推断。

1. 档案补充的常规流程：

   • 通常，档案的补充需要提交相关的归档材料原件，并经过档案所在公共人才服务机构的审核。
   • 审核通过后，符合归档条件的材料会被归入本人档案。

2. 是否需要公函：

   • 公函在正式场合中常用于传达官方信息或请求，具有正式性和权威性。
   • 在档案补充的情境中，虽然直接的规定可能未明确要求公函，但向原单位提出正式的、书面的请求（可以视为一种非正式的“公函”形式）有助于明确请求内容、提高沟通效率，并确保请求的正式性和严肃性。
   • 特别是当原单位与您之间的劳动关系已经解除时，一份正式的书面请求可能更有助于您与原单位之间的沟通和协调。

3. 实际操作建议：

   • 您可以准备一份正式的书面请求，说明您的身份、档案不全的情况、需要补充的具体材料以及请求原单位协助补充档案的原因。
   • 这份书面请求可以附上您的身份证复印件等相关证明材料，以增加请求的可信度和正式性。
   • 将这份书面请求提交给原单位的人事部门或相关负责人，并跟进处理进度。

综上所述，虽然直接的规定可能未明确要求向原单位申请补充档案时需要公函，但准备一份正式的书面请求（可以视为非正式的“公函”）是有助于您与原单位之间的沟通和协调的。因此，我建议您在申请补充档案时，准备一份正式的书面请求，并附上相关证明材料，以提高沟通效率和请求的成功率。