结论：老师三年前踢孩子背一脚的行为是否犯法，需结合具体伤害后果、行为性质及时间因素综合判断。以下从不同角度展开分析：

1. 从伤害后果角度分析

• 若未造成明显伤害：若踢打行为仅导致孩子短暂疼痛或轻微红肿，未造成骨折、内脏损伤等严重后果，则可能不构成刑事犯罪。但老师的行为仍违反《未成年人保护法》第二十七条，该条款明确禁止学校、幼儿园的教职员工对未成年人实施体罚、变相体罚或其他侮辱人格尊严的行为。学校可依据内部规章制度对老师进行处分。
• 若造成严重伤害：若踢打行为导致孩子骨折、内脏损伤等严重后果，则可能构成《刑法》第二百三十四条规定的故意伤害罪。故意伤害罪的立案标准为轻伤及以上，具体需通过司法鉴定确定伤害程度。若构成犯罪，即使行为发生在三年前，仍可能被追究刑事责任，但需注意诉讼时效问题（故意伤害罪法定最高刑为三年以下有期徒刑的，诉讼时效为五年）。

2. 从行为性质角度分析

• 体罚行为的违法性：老师作为教育工作者，对学生实施踢打行为属于体罚，违反《教师法》第三十七条，该条款规定教师体罚学生且情节严重的，由所在学校、其他教育机构或教育行政部门给予行政处分或解聘。此外，《民法典》第一千一百九十九条也规定，无民事行为能力人或限制民事行为能力人在幼儿园、学校学习、生活期间受到人身损害的，幼儿园、学校应承担侵权责任（除非能证明已尽到教育、管理职责）。
• 时间因素对责任的影响：虽然行为发生在三年前，但若未超过诉讼时效（身体受到伤害要求赔偿的诉讼时效为三年，自知道或应当知道权利被侵害时起算），仍可追究民事赔偿责任。若涉及刑事犯罪，则需根据具体罪名和法定刑判断诉讼时效。

3. 从法律后果角度分析

• 民事责任：无论是否构成犯罪，老师或学校均可能承担民事赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费等合理费用。若造成精神损害，还可主张精神损害抚慰金。
• 行政责任：老师可能因违反学校规章制度或教育法律法规受到行政处分，如警告、记过、降级、撤职或开除等。
• 刑事责任：若构成故意伤害罪且未超过诉讼时效，老师可能面临三年以下有期徒刑、拘役或管制的刑事处罚。

4. 建议与后续行动

• 收集证据：若孩子当时有就医记录、照片、视频或目击证人证言，应妥善保存，作为证明伤害后果和行为性质的证据。
• 与学校沟通：可先与学校沟通，要求学校调查处理并给予答复。若学校未妥善处理，可向教育行政部门投诉。
• 法律途径：若认为老师的行为侵犯了孩子的合法权益，可咨询律师，通过民事诉讼要求赔偿，或向公安机关报案追究刑事责任（若构成犯罪且未过诉讼时效）。

总结：老师踢孩子背一脚的行为是否犯法，需结合伤害后果、行为性质及时间因素综合判断。即使行为发生在三年前，若未超过诉讼时效且造成严重后果，仍可能被追究法律责任。建议根据实际情况收集证据，并通过与学校沟通或法律途径维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。