结论是：在按了确认退款后，如果退款金额未达预期，您仍然可以尝试进一步申请退款，但具体能否成功需视情况而定。
一、退款申请的法律依据与条件
根据《未成年人网络游戏服务消费管理要求(征求意见稿)》及相关法律规定，未成年人未经监护人同意进行的网络游戏充值，监护人有权要求退款。具体来说，退款的成功率与以下条件密切相关：
- 年龄证据：如果孩子年龄在8岁以下，全额退款的可能性较高；8-16岁的孩子，则需要证明消费与孩子的认知能力不匹配。
- 消费未经监护人同意：您需要提供未成年人操作证明，如充值时段孩子在校或无监护人陪同的证据。
- 金额与实际消费能力不符：例如，单日充值金额超过孩子或家庭的合理消费范围。
二、已按确认退款后的进一步申请
补充证据与材料：
- 如果您已经按了确认退款但只退了一千多，可能是因为游戏公司认为部分充值行为符合规定或证据不足。此时，您可以进一步收集证据，如孩子充值时的具体时间、地点、操作方式等，以及能够证明孩子未经您同意充值的材料。
- 提交更详细的亲子关系证明，如户口本、出生证明等，以及孩子充值记录与游戏内消费明细的对比。
与游戏公司再次沟通：
- 联系游戏公司的客服部门，说明您的情况，并提交补充的证据和材料。
- 在沟通过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
寻求第三方协助：
- 如果与游戏公司的沟通没有结果，您可以考虑向消费者协会或相关监管部门投诉。
- 在某些情况下，您也可以寻求法律援助或咨询专业律师，以了解更详细的法律途径和维权策略。
三、注意事项与风险提示
警惕退款骗局：
- 市场上存在一些声称能够“全额退款”或“包退”的机构，这些机构往往存在欺诈行为。请务必保持警惕，避免上当受骗。
合理预期与维权成本：
- 在申请退款时，请保持合理的预期。退款金额可能无法完全达到您的期望，因为游戏公司可能会根据其内部规定和证据情况进行判断。
- 同时，维权过程可能需要一定的时间和成本，包括收集证据、与游戏公司沟通、投诉或诉讼等。请做好相应的准备。
四、具体操作建议
- 立即收集证据：包括孩子充值时的具体时间、地点、操作方式、亲子关系证明、充值记录与游戏内消费明细等。
- 与游戏公司客服联系：说明您的情况，并提交补充的证据和材料。要求游戏公司重新审核退款申请。
- 如果沟通无果：考虑向消费者协会或相关监管部门投诉，或者寻求法律援助。
如果您在进一步申请退款过程中遇到任何问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。 我将根据您的具体情况，提供更专业的法律指导和帮助。