到案后同一天供述，不一定能直接认定为自首。自首的认定需要满足一定的法律条件，下面我将从自首的认定条件、同一天供述的不同情形以及相关法律后果等角度进行详细分析。
自首的认定条件
根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，自首的认定通常需要满足两个条件：一是自动投案，二是如实供述自己的罪行。自动投案意味着犯罪嫌疑人在未被采取强制措施前，主动向司法机关投案并接受审查；如实供述则要求犯罪嫌疑人必须真实、完整地交代自己的犯罪事实。
同一天供述的不同情形
自动投案后同一天供述：
- 如果犯罪嫌疑人在未被司法机关发觉或虽被发觉但尚未受到讯问、未被采取强制措施时，主动向司法机关投案，并在同一天如实供述了自己的罪行，那么这种情况通常可以认定为自首。
被传唤或抓获后同一天供述：
- 如果犯罪嫌疑人是在被司法机关传唤或抓获后，才在同一天供述了自己的罪行，那么这种情况一般不能认定为自首。因为此时犯罪嫌疑人已经处于司法机关的控制之下，缺乏自动投案的主动性。
供述的完整性和真实性：
- 无论是在哪种情形下，犯罪嫌疑人的供述都必须真实、完整。如果供述存在虚假或遗漏，那么即使是在同一天供述，也不能认定为自首。
相关法律后果
认定为自首的法律后果：
- 如果犯罪嫌疑人的行为被认定为自首，根据《中华人民共和国刑法》的规定，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
不认定为自首的法律后果：
- 如果犯罪嫌疑人的行为不被认定为自首，那么他将无法享受自首带来的从轻或减轻处罚的待遇。在量刑时，司法机关将根据其犯罪事实、性质、情节和社会危害程度等因素进行综合考量。
建议与提醒
对于犯罪嫌疑人：
- 如果你涉嫌犯罪，并希望获得自首的认定以减轻处罚，那么你应该在未被司法机关发觉或虽被发觉但尚未受到讯问、未被采取强制措施时，主动向司法机关投案并如实供述自己的罪行。
对于一般公众：
- 了解自首的认定条件和相关法律后果对于维护自身权益和遵守法律具有重要意义。如果你或你身边的人涉嫌犯罪，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
综上所述，到案后同一天供述并不一定能直接认定为自首。自首的认定需要满足自动投案和如实供述两个条件。如果你有任何关于自首或其他刑事法律问题的疑问，可以直接向我咨询。