如果收到履行通知书后不提异议，第三人可能会丧失豁免执行的程序利益，人民法院可以裁定对其强制执行，但第三人在执行过程中仍有权提出执行异议来维权。以下是对此问题的详细分析：
一、不提异议的法律后果
在债权债务关系中，当债务人被强制执行时，债权人有权申请直接执行被执行人对第三人的到期债权。此时，如果第三方（即第三人）接到履行债务的通知后，未在法定期限内提出异议，根据人民法院案例库入库案例《大庆石油某公司与大庆某自动化仪表公司、大庆某金属防腐公司执行复议案》的明确指示，第三人将丧失豁免执行的程序利益，人民法院可以裁定对其强制执行。这意味着，如果第三人未在规定时间内提出异议，其可能面临被强制执行的风险。
二、未提异议后的救济途径
尽管第三人未在法定期限内提出异议可能会面临被强制执行的风险，但其在执行过程中仍有权提出执行异议来维权。根据《最高人民法院执行工作办公室关于到期债权执行中第三人超过法定期限提出异议等问题如何处理的请示的答复》(〔2005〕执他字第19号)的阐释，第三人在法院开始强制执行后仍有异议的，应当得到司法救济。具体来说，第三人可以就债务履行期是否届至、债权数额是否确定等提出抗辩，人民法院应当进行实质审查。
三、实际操作中的建议
认真对待履行通知书：第三人收到履行通知书后，应认真对待并及时作出反应。如果认为自己不应承担债务或有其他合法理由，应在限定期限内提出异议来阻却执行。
及时提出异议：如果第三人认为自己对债务有异议，应及时向人民法院提出。异议的内容可以包括债务的真实性、债务的数额、债务的履行期限等。
保留相关证据：第三人在提出异议时，应提供相关证据来支持自己的主张。这些证据可以包括合同、付款凭证、往来函件等。
寻求法律帮助：如果第三人对法律程序不熟悉或需要进一步的法律帮助，可以寻求专业律师的协助。律师可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助第三人维护自己的合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业、全面的法律建议。