结论前置：
- 未签协议存在法律风险：尽管未签订书面协议，但兼职主播与公司之间仍可能形成事实劳动关系，主播有权主张相应权益。
- 公司关门不影响权益主张：公司因关门导致兼职主播未完成一个月工作，不影响主播基于事实劳动关系主张工资、经济补偿等权益。
详细分析：
一、未签协议的法律风险
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，虽然该法主要规范的是全日制劳动关系，但兼职（非全日制）劳动关系同样受到法律保护。未签订书面协议，并不意味着劳动关系不存在。在实际操作中，如果兼职主播能够证明与公司之间存在事实劳动关系（如通过工作证、考勤记录、工资支付记录、同事证言等证据），则仍然有权主张相应的劳动权益。
事实劳动关系的认定：
- 劳动者已实际付出劳动并接受用人单位的管理和支配。
- 劳动者从事的工作是用人单位业务的组成部分。
- 存在工资支付记录或其他能够证明劳动关系存在的证据。
二、公司关门对权益主张的影响
公司因关门导致兼职主播未完成一个月的工作，这并不影响主播基于事实劳动关系主张相应的权益。主播可以主张的权益包括但不限于：
- 工资支付：根据实际工作天数和约定的工资标准，主张应得的工资。
- 经济补偿：如果公司关门导致劳动关系终止，且符合法定情形（如未提前通知、未支付经济补偿等），主播可能还有权主张经济补偿。但需注意，非全日制用工一般不适用经济补偿的规定，除非地方性法规或双方协议中有特别约定。
三、建议与措施
- 收集证据：兼职主播应尽快收集能够证明与公司之间存在事实劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资支付记录、与公司的沟通记录等。
- 协商解决：尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解，如支付应得工资等。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，主张相应的权益。
- 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。
四、特别提醒
- 尽管未签订书面协议，但兼职主播仍应谨慎对待自己的劳动关系，及时保留相关证据。
- 在主张权益时，应确保自己的主张有法律依据和事实支持，避免盲目维权。
如有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询。