当电梯出现故障而物业不进行维修时，业主可以采取以下措施来维护自身权益：
核查物业服务合同：
- 首先，业主应详细查阅与物业公司签订的物业服务合同，确认其中是否明确规定了物业公司对电梯维护和修理的具体责任。这是后续行动的重要依据。
- 若合同中明确规定了物业的维修责任，而物业未履行，则物业构成违约，业主有权要求其承担责任。
与物业进行正式沟通：
- 业主可以以书面形式向物业公司发送函件，详细说明电梯损坏的情况、对居民生活的影响，以及要求物业尽快维修的诉求。
- 保留好函件的发送记录和物业的回复，作为后续可能的法律行动的证据。
- 若物业未给予积极回应，业主可进一步通过业主委员会与物业进行沟通，要求其给出解决方案和维修时间表。
向相关部门投诉：
- 若物业仍不履行维修责任，业主可以向当地房地产行政主管部门或物业管理协会投诉。这些部门有权对物业服务企业进行监督管理，并会调查并督促物业整改。
- 同时，由于电梯属于特种设备，业主也可向当地市场监督管理部门举报电梯损坏未及时维修的问题。该部门有权要求物业立即停止电梯的不安全运行状态，并限期整改。
采取法律途径：
- 若物业持续不作为，业主可以考虑通过法律途径来维护自身权益。例如，以个人或业主委员会的名义，依据物业服务合同向法院提起诉讼，要求物业承担维修电梯的责任，并赔偿因电梯未及时维修给业主造成的损失。
- 在诉讼过程中，业主应提供充分证据，包括电梯损坏的照片、视频，与物业沟通的记录，以及因电梯问题导致损失的相关证明等。
联合行动与更换物业：
- 业主还可以联合起来，通过业主大会或业主委员会对物业的服务进行监督和问责。
- 若物业的服务质量持续不达标，业主委员会有权根据相关规定解聘该物业企业，并另行聘请有资质的物业服务公司。
在采取上述措施时，业主需要注意以下几点：
- 保留好所有相关证据，包括与物业的沟通记录、电梯损坏的照片和视频等，以便在需要时提供证明。
- 积极配合相关部门的调查和诉讼程序，确保权益得到有效保护。
- 在整个过程中保持冷静和理性，避免采取过激行为。
希望以上建议能帮助您有效解决电梯故障而物业不维修的问题。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。