当检察院决定不给予追究刑事责任时，其处理方式会根据案件所处的不同诉讼阶段而有所区别。以下是对这一问题的详细解答：

一、侦查阶段

在侦查阶段，如果公安机关发现案件存在不追究刑事责任的情形，如犯罪情节显著轻微、危害不大，或者存在其他法定不追究刑事责任的情形，那么公安机关应当依法撤销案件。如果此时犯罪嫌疑人已经被羁押，公安机关还需要立即释放犯罪嫌疑人，并发给释放证明。

二、审查起诉阶段

当案件进入审查起诉阶段时，检察院会对案件进行全面审查。如果检察院认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪，或者存在法定不追究刑事责任的情形，那么检察院会作出不起诉决定。这一决定意味着检察院认为没有足够的证据或法律依据来支持对犯罪嫌疑人的刑事指控。

• 酌定不起诉：如果犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，检察院可以作出酌定不起诉决定。
• 法定不起诉：如果存在法定不追究刑事责任的情形，如犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或撤回告诉等，检察院应当作出法定不起诉决定。

同时，如果犯罪嫌疑人在押，检察院在作出不起诉决定后，需要立即释放犯罪嫌疑人。

三、审判阶段

如果案件进入了审判阶段，而法院在审理过程中发现存在不追究刑事责任的情形，那么法院会根据具体情况作出不同的处理：

• 宣告无罪：如果法院认为被告人的行为不构成犯罪，或者存在法定不追究刑事责任的情形，且这些情形在审判阶段才被发现，那么法院会判决宣告被告人无罪。
• 裁定终止审理：如果存在被告人死亡、已过追诉时效期限等法定情形，导致案件无法继续审理，那么法院会裁定终止审理。

四、其他处理措施

虽然检察院决定不给予追究刑事责任，但并不意味着对犯罪嫌疑人的行为没有任何处理。根据案件的具体情况，检察院或相关主管部门还可以采取以下措施：

• 训诫、责令具结悔过、赔礼道歉：对于犯罪情节轻微、危害不大的行为，检察院可以给予犯罪嫌疑人训诫，责令其具结悔过或赔礼道歉。
• 行政处罚或行政处分：如果犯罪嫌疑人的行为违反了相关行政法规或单位规章制度，那么相关主管部门还可以给予其行政处罚或行政处分。

实例说明

以小朱涉嫌盗窃案为例，在侦查阶段，警方发现小朱盗窃的财物价值极低且是因生活极度困难临时起意，情节显著轻微。随后案件进入审查起诉阶段，检察院经审查认为小朱的行为危害不大，不构成犯罪，因此作出了不起诉决定，并立即释放了此前一直被羁押在看守所的小朱。若案件进入审判阶段，法院也应依据相关法定情形宣告小朱无罪。同时，虽不追究小朱的刑事责任，但可根据案件具体情况，对小朱予以训诫、责令具结悔过等处理。

综上所述，当检察院决定不给予追究刑事责任时，其处理方式会根据案件所处的不同诉讼阶段而有所区别，并可能伴随其他处理措施。