结论前置：一人有限责任公司的股东兼法定代表人死亡且无继承人时，公司可以注销，但必须遵循一系列法定程序。
一、法定程序概览
当一人有限责任公司的股东兼法定代表人死亡且无继承人时，公司注销需遵循以下法定程序：
确认无继承人：首先，需确认该股东无法定继承人或继承人明确表示放弃继承。这是启动注销程序的前提。
成立清算组：根据《公司法》及相关规定，公司应在解散事由出现后十五日内成立清算组。在此情况下，由于无继承人，清算组可能由公司其他股东（如有）、公司高级管理人员或法院指定的相关人员组成。
履行通知与公告义务：清算组成立后，需在十日内通知已知债权人，并在六十日内于报纸上公告，要求债权人申报债权。这是为了保障债权人的合法权益。
开展清算工作：清算组需清理公司财产，编制资产负债表和财产清单；处理未了结业务；清缴所欠税款及清算过程中产生的税款；清理债权债务，向债务人追讨债权，并按法定顺序清偿债务。
制作清算报告：清算结束后，清算组应制作详细的清算报告，内容包括公司概况、清算过程、清算结果等，并经股东会（在此情况下可能由清算组或法院确认）确认。
税务注销：携带清算报告、税务登记证等相关资料至税务部门办理税务注销手续，取得税务注销证明。
工商注销：持税务注销证明、清算报告、营业执照正副本等材料至工商行政管理部门办理工商注销登记。经核准后，收缴营业执照，公司法人资格消灭。
二、特殊情形处理
无人继承的遗产管理：若无法定继承人，且公司财产不足以清偿债务，可能涉及遗产管理问题。在此情况下，可由民政部门或村委会担任遗产管理人，依法处置公司资产并办理注销。但需注意，这一程序可能因地区而异，需遵循当地法律法规。
简易注销适用：若公司未开业或无债权债务，可考虑通过简易程序办理注销。简易程序通常缩短公告期限至20日，并简化部分手续。但需确保公司确实符合简易注销的条件。
三、法律风险与后果
债务承担问题：若未妥善处理公司债务，可能导致公司财产混同、流失等，进而使股东（在此情况下可能指原股东的继承人或相关责任人）对公司债务承担连带责任。
经营受限：公司存续期间却处于无人管理经营的状态，会影响公司的正常运营，可能导致税务申报逾期、被列入经营异常名录等。长期不处理，还可能面临吊销营业执照的处罚。
影响股东权益：法人死亡不处理，公司资产状况不明，股东权益难以保障和实现，比如无法进行合理的利润分配等。
四、建议与注意事项
及时启动注销程序：为避免不必要的法律风险，建议在公司股东兼法定代表人死亡且无继承人后，及时启动注销程序。
确保程序合规性：未经合法清算直接注销可能引发股东连带责任等法律问题。因此，需确保注销程序的合规性，包括成立清算组、履行通知与公告义务、开展清算工作等。
寻求专业帮助：由于注销程序涉及多个法律环节和专业知识，建议在此过程中寻求专业律师或会计师事务所的帮助，以降低操作风险。
总结：一人有限责任公司的股东兼法定代表人死亡且无继承人时，公司可以注销，但必须遵循一系列法定程序。为确保注销程序的顺利进行和避免不必要的法律风险，建议及时启动注销程序、确保程序合规性，并寻求专业帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请直接向我咨询。