一般情况下，与一家公司签订的合同不可以背书给其他公司。下面我将从法律角度详细解释这一结论：
合同相对性原则：
- 根据合同法的基本原理，合同是特定当事人之间设立、变更、终止民事权利义务关系的协议。合同的效力及于合同当事人，即合同具有相对性。
- 因此，除非合同中有明确约定或法律另有规定，否则合同中的权利和义务不能随意转让给第三方。
合同转让的法律规定：
- 在某些情况下，合同中的权利或义务是可以转让的，但这通常需要合同双方的同意，并且需要符合法律规定的转让条件。
- 背书通常用于票据等金融工具的转让，而不适用于一般合同的转让。
背书给其他公司的法律后果：
- 如果未经合同另一方同意，擅自将合同背书给其他公司，这可能会构成违约行为，导致合同另一方有权要求承担违约责任。
- 同时，这种背书行为也可能无法在法律上产生有效的权利转让效果，即背书后的公司可能无法依据该合同享有权利或承担义务。
综上所述，与一家公司签订的合同在未经合同另一方同意的情况下，一般不可以背书给其他公司。如果确实需要转让合同中的权利或义务，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和风险。在处理此类问题时，应严格遵守合同法的相关规定，以确保合同的合法性和有效性。