孩子一个月母亲跑了，是可以起诉的。具体分析如下：

1. 法律义务与责任：

   • 父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的法定义务。无论父母是否存在婚姻关系，这一义务都不因婚姻关系的变化或一方的离开而消除。
   • 如果孩子母亲在孩子仅一个月大时就离家出走，且不履行抚养义务，那么她可能涉嫌遗弃罪，尤其是在情节严重时。

2. 起诉的可行性：

   • 孩子的法定代理人（通常是直接抚养孩子的父亲）可以以孩子的名义向法院提起诉讼，要求母亲支付抚养费。
   • 起诉前需要准备充分的证据，包括孩子的身份信息、亲属关系证明（如出生证明）、以及能证明母亲未履行抚养义务的证据（如聊天记录、证人证言等）。

3. 法院的判决与执行：

   • 法院在审理后，会根据孩子的实际需要、母亲的负担能力以及当地的实际生活水平，判决母亲支付抚养费的数额和方式。
   • 抚养费可以定期支付，也可以一次性支付。如果母亲拒绝支付，法院有权强制执行，以保障孩子的合法权益。

4. 其他建议：

   • 在起诉之前，可以尝试通过协商或调解的方式解决抚养问题，这有助于维护家庭关系的和谐。
   • 如果协商不成，或者母亲拒绝承担抚养责任，那么通过法律途径解决是合理且必要的。

综上所述，如果孩子一个月大时母亲离家出走且不履行抚养义务，孩子的法定代理人有权以孩子的名义向法院提起诉讼，要求母亲支付抚养费并履行抚养义务。法院会根据具体情况作出判决，并有权强制执行以保障孩子的合法权益。