结论前置：

1. 一般情况下，偷玉米价值1000元以下不构成盗窃罪，但会受到治安管理处罚。
2. 特殊情形下，即使偷玉米价值未达到1000元，也可能构成盗窃罪。

详细分析：

一、一般情况下不构成犯罪

根据相关法律规定及司法实践，盗窃公私财物价值达到一千元至三千元以上，通常才被认定为“数额较大”，进而构成盗窃罪。因此，单纯盗窃价值1000元以下的玉米，在大多数情况下并不构成盗窃罪。然而，这并不意味着此类行为可以逃避法律制裁。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条的规定，盗窃公私财物的，即使价值未达到一千元，也将受到五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款的处罚；若情节较重，则处十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款。

二、特殊情形下可能构成犯罪

尽管一般情况下盗窃1000元以下不构成犯罪，但在某些特殊情形下，即使盗窃金额低于此标准，也可能构成盗窃罪。这些特殊情形包括但不限于：

1. 多次盗窃：二年内盗窃三次以上的，无论每次盗窃金额多少，均应当认定为“多次盗窃”，构成盗窃罪。这意味着，即使每次偷的玉米价值都不高，但如果频繁作案，也可能触犯刑法。

2. 入户盗窃：非法进入供他人家庭生活，与外界相对隔离的住所进行盗窃，不论盗窃财物价值多少，均构成“入户盗窃”，进而构成盗窃罪。如果偷玉米的行为发生在农户家中，即使玉米价值不高，也可能因入户盗窃而构成犯罪。

3. 携带凶器盗窃：携带枪支、爆炸物、管制刀具等国家禁止个人携带的器械盗窃，或者为了实施违法犯罪携带其他足以危害他人人身安全的器械盗窃，即使未偷到财物或财物价值未达1000元，也构成“携带凶器盗窃”，即构成盗窃罪。

4. 扒窃：在公共场所或公共交通工具上盗窃他人随身携带的财物，无论价值多少，均构成“扒窃”，进而构成盗窃罪。虽然扒窃通常针对的是随身携带的财物，如手机、钱包等，但如果偷玉米的行为发生在公共场所，且符合扒窃的其他要件，也可能构成犯罪。

三、法律建议

1. 遵守法律：无论盗窃的玉米价值多少，都应遵守法律，不要实施盗窃行为。盗窃不仅可能面临治安管理处罚，还可能构成犯罪，留下案底，影响未来的生活和工作。

2. 及时退赃：如果已经实施了盗窃行为，应尽快退还赃物或赔偿损失，以减轻法律后果。退赃退赔是量刑时考虑的重要因素之一。

3. 寻求法律帮助：如果面临盗窃指控或已经受到治安管理处罚，应及时寻求法律帮助，了解自己的权利和义务，以便更好地维护自己的合法权益。

四、地区差异

值得注意的是，由于各地区经济发展状况和社会治安状况的差异，盗窃罪的立案标准在不同地区可能存在一定的差异。因此，在具体案件中，还需要结合当地的实际情况进行判断。

综上所述，偷玉米价值1000元以下是否构成犯罪，需要根据具体情节和地区差异进行综合判断。无论如何，盗窃行为都是违法的，应遵守法律，不要实施此类行为。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。