针对您提出的小区公共设施被用于饭店油烟管道，以及居民如何通知并办理合法手续的问题，这是一个涉及法律法规、行政管理和居民权益的复杂议题。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律法规依据
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国大气污染防治法》第八十一条的规定，居民住宅楼、未配套设立专用烟道的商住综合楼内新建、改建、扩建产生油烟、异味、废气的餐饮项目是被禁止的。这意味着，如果小区原始结构中并未预设烟道，那么餐饮店自行开墙打洞，接出一根外挂在外墙上的新建烟道，是不符合法律规定的。
二、行政管理部门职责
在处理此类问题时，涉及多个行政管理部门，包括但不限于：
- 市场监管部门：负责颁发营业执照，但新建油烟管道并不在其直接管理范围内。
- 环保部门：负责监管餐饮企业是否合乎所有的环保法规，包括油烟排放等。然而，对于前期装修、尚未营业的餐饮企业是否允许新装排烟设施，环保部门可能并不直接介入。
- 城管部门：负责在装修、改造过程中，查处是否存在违法行为。但对于外设烟道的具体安装和使用，城管部门的执法依据可能并不明确。
三、居民应如何行动
- 了解法律法规：居民首先应了解相关法律法规，明确自己的权益和餐饮店的行为是否合法。
- 向相关部门投诉：如果发现餐饮店存在违法行为，如未经批准新建烟道，居民可以向当地的市场监管部门、环保部门或城管部门投诉。在投诉时，应提供详细的证据和情况说明。
- 参与社区协商：居民可以积极参与社区协商，与餐饮店店主、物业管理部门等进行沟通，寻求合理的解决方案。
- 关注后续进展：在投诉后，居民应关注相关部门的处理进展，确保问题得到妥善解决。
四、办理合法手续的建议
对于餐饮店而言，如果确实需要在小区内设置油烟管道，应遵循以下步骤办理合法手续：
- 咨询相关部门：在装修前，餐饮店应咨询当地的市场监管部门、环保部门和城管部门，了解具体的法律法规和办理手续。
- 提交申请材料：根据相关部门的要求，提交申请材料，包括但不限于店铺规划图、油烟排放方案等。
- 接受现场核查：相关部门可能会对餐饮店的装修现场进行核查，确保其符合法律法规的要求。
- 获得批准后施工：在获得相关部门的批准后，餐饮店方可进行装修和安装油烟管道。
五、总结与建议
小区公共设施被用于饭店油烟管道的问题，涉及法律法规、行政管理和居民权益等多个方面。居民在发现此类问题时，应积极了解法律法规，向相关部门投诉，并参与社区协商。同时，餐饮店也应遵循法律法规，办理合法手续后再进行装修和安装油烟管道。希望相关部门能够加强监管，确保小区居民的生活环境不受影响。