针对您提出的“刑事案件虚假供述构不成伪证罪怎么处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，在刑事诉讼中，虚假供述是一个严重的法律问题。它指的是犯罪嫌疑人、被告人或其他诉讼参与人在刑事诉讼过程中故意说假话、捏造事实或隐瞒真相的行为。这种行为可能误导司法机关，造成案件处理的错误，甚至导致错判，因此法律对此有严格的规制。
一、虚假供述与伪证罪的关系
伪证罪，依据《中华人民共和国刑法》第三百零五条的规定，是指在刑事诉讼中，证人、鉴定人、记录人、翻译人对与案件有重要关系的情节，故意作虚假证明、鉴定、记录、翻译，意图陷害他人或者隐匿罪证的行为。对于犯罪嫌疑人或被告人自身的虚假供述，虽然其性质与伪证罪相似，但在实践中认定伪证罪较为复杂，因为需要综合考量其在诉讼中的地位、供述的复杂性以及是否意图陷害他人或隐匿罪证等因素。如果虚假供述不构成伪证罪，那么我们需要考虑其他可能的法律责任。
二、不构成伪证罪的虚假供述处理
行政处罚： 如果虚假供述的情节较轻，尚未构成犯罪，但影响了司法公正，相关人员可能会受到行政处罚。这种处罚可能包括警告、罚款等，具体取决于虚假供述的情节和造成的后果。
其他刑事责任： 虽然虚假供述不构成伪证罪，但如果其情节严重，如导致了错判、使人蒙冤或犯罪分子逃脱法律制裁，那么相关人员可能会面临其他罪名的刑事追究。例如，如果行为人通过虚假供述的方式为犯罪的人作假证明进行包庇，那么其行为可能构成包庇罪；如果行为人故意编造虚假的犯罪事实并向司法机关告发，意图使他人受到刑事追究，且情节严重，那么其行为可能构成诬告陷害罪。
民事赔偿： 如果虚假供述导致了他人经济损失，受害者还可以通过民事诉讼要求虚假供述者承担民事赔偿责任。
三、建议与措施
如实陈述事实： 在刑事诉讼中，所有人应如实陈述事实，避免虚假供述带来的法律风险。这是每个诉讼参与人的基本义务，也是维护司法公正的重要保障。
及时反映情况： 如果发现有人提供虚假证言或供述，应及时向司法机关反映情况。司法机关将依法进行调查处理，确保案件的公正处理。
寻求法律帮助： 如果您或他人面临虚假供述的法律问题，建议及时寻求专业律师的法律帮助。律师将为您提供专业的法律意见和辩护策略，帮助您维护合法权益。
综上所述，刑事案件中的虚假供述如果构不成伪证罪，相关人员仍可能面临行政处罚、其他刑事责任或民事赔偿等法律后果。因此，建议所有人在刑事诉讼中应如实陈述事实，避免虚假供述带来的法律风险。