结论前置：嫌疑人可以通过多种途径知晓公安机关不予立案的日期，包括直接向办案机关询问、关注不予立案通知书的送达、委托律师查询以及留意相关法律文书的送达情况等。

一、直接向办案机关询问

嫌疑人可以携带有效身份证件，直接到当地公安机关的办案部门或派出所进行查询。在查询时，嫌疑人可以明确询问案件是否立案，以及不予立案的具体日期。公安机关会根据嫌疑人的身份信息，在系统中查询相关记录，并告知嫌疑人查询结果。

二、关注不予立案通知书的送达

根据《公安机关办理刑事案件程序规定》，对不予立案的，公安机关应当制作《不予立案通知书》，并在三日以内送达控告人。虽然法律没有明确规定必须送达嫌疑人，但在实践中，如果嫌疑人与控告人存在关联，或者嫌疑人主动询问，公安机关可能会将不予立案的情况告知嫌疑人，包括不予立案的日期。因此，嫌疑人可以关注是否收到相关通知，或者通过与控告人沟通等间接途径知晓不予立案的日期。

三、委托律师查询

嫌疑人可以委托专业律师进行查询。律师凭借其专业身份和经验，有权向办案机关了解案件是否立案，以及不予立案的具体日期。律师可以前往公安机关，通过合法程序查询案件立案状态，并及时将相关信息反馈给嫌疑人。这种方式相对专业且高效，但可能需要支付一定的律师费用。

四、留意相关法律文书的送达情况

在案件处理过程中，公安机关可能会依法送达其他相关法律文书，如《撤销案件决定书》等。这些文书的送达也间接表明案件的处理结果，包括不予立案的日期。因此，嫌疑人应留意接收办案机关依法送达的相关法律文书，以便及时了解案件进展。

法律建议：

• 嫌疑人在查询不予立案日期时，应遵循相关规定和程序，不得干扰办案机关的正常工作。
• 如果嫌疑人认为公安机关的不予立案决定有误，可以依法申请复议或者向人民检察院提出申诉。
• 在整个过程中，嫌疑人应保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 如果嫌疑人通过非法手段获取不予立案日期等信息，可能会面临法律责任。
• 如果嫌疑人对不予立案决定不服，但未依法申请复议或申诉，而是采取过激行为，如扰乱公共秩序等，也可能会面临法律制裁。

综上所述，嫌疑人可以通过多种途径知晓公安机关不予立案的日期。在实际操作中，建议嫌疑人结合具体情况选择合适的方式，并密切关注办案机关的通知和文书送达情况，以确保及时了解案件进展并做出相应的应对准备。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。