结论：夫妻一方被婆婆起诉赔偿时，另一方是否有责任，需根据具体情况判断，主要看该赔偿请求是否涉及夫妻共同债务或共同侵权责任。以下从不同角度进行分析：

1. 若赔偿请求涉及夫妻共同债务

• 法律依据：根据《民法典》第一千零六十四条，夫妻双方共同签名或者夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务，属于夫妻共同债务。
• 分析：如果婆婆起诉的赔偿请求是基于夫妻一方为家庭日常生活需要所负的债务（如因家庭共同生活产生的医疗费、教育费等），且另一方对此债务知情或事后追认，或者该债务本身就是为了家庭共同生活而产生的，那么另一方可能需要承担共同赔偿责任。
• 例子：假设夫妻一方因家庭成员生病需要治疗而向婆婆借款，后未能按时还款被起诉，若该借款用于家庭共同生活，且另一方对此知情或事后认可，则另一方需承担共同还款责任。

2. 若赔偿请求涉及个人债务或个人侵权责任

• 法律依据：同样根据《民法典》第一千零六十四条，夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，不属于夫妻共同债务；但是，债权人能够证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示的除外。此外，若赔偿请求是基于个人侵权责任（如一方单独实施的侵权行为导致的赔偿），则通常由侵权人个人承担。
• 分析：如果婆婆起诉的赔偿请求是基于夫妻一方以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，且债权人（婆婆）无法证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示，那么该债务通常被认定为个人债务，另一方无需承担赔偿责任。同样，若赔偿请求是基于个人侵权责任，如一方单独实施的殴打、辱骂等侵权行为导致的赔偿，也通常由侵权人个人承担。
• 例子：假设夫妻一方因个人消费（如购买奢侈品）向婆婆借款，后未能按时还款被起诉，若该借款未用于家庭共同生活，且另一方对此不知情也未追认，则另一方无需承担还款责任。又如，若夫妻一方单独实施了侵权行为导致婆婆受伤，婆婆起诉要求赔偿，则赔偿责任应由侵权方个人承担。

3. 特殊情况：表见代理或共同侵权

• 表见代理：如果夫妻一方在对外行为时，使第三人（如婆婆）有理由相信其行为代表夫妻双方共同意思表示（如表见代理），则另一方可能需承担连带责任。但这种情况较为少见，且需要具体证据支持。
• 共同侵权：如果夫妻双方共同实施了侵权行为导致婆婆受损，则双方需承担共同赔偿责任。

建议：

• 若您面临此类情况，建议首先梳理债务或侵权行为的性质、用途及双方的意思表示情况。
• 收集相关证据（如借款合同、转账记录、聊天记录等）以证明债务或侵权行为的性质及用途。
• 如有必要，可咨询专业律师进行详细分析并制定应对策略。

有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。