申请依法履职的负责部门取决于具体的履职内容和涉及的行政领域。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

1. 一般行政履职申请：

   • 如果申请依法履职涉及的是一般性的行政事务，如行政许可、行政确认等，那么通常负责的部门是相应的行政机关。例如，申请办理营业执照，应向当地的市场监督管理部门（原工商行政管理部门）提出；申请建设用地规划许可证，则应向当地的城乡规划部门提出。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政许可法》等相关法律法规，行政机关应当在其法定职责范围内，对符合条件的申请依法作出行政许可决定。

2. 特定领域履职申请：

   • 对于特定领域的履职申请，如环保、税务、海关等，负责的部门则是相应的专业行政机关。例如，申请环保方面的审批或备案，应向当地的生态环境部门提出；申请税务方面的减免或优惠，则应向当地的税务部门提出。
   • 法律依据：各专业领域的法律法规均明确规定了相应行政机关的职责和权限。例如，《中华人民共和国环境保护法》规定了生态环境部门的职责；《中华人民共和国税收征收管理法》则规定了税务部门的职责。

3. 跨部门或综合履职申请：

   • 如果申请依法履职涉及多个部门或需要综合协调的，那么可能需要向更高一级的政府或专门的协调机构提出。例如，某些大型建设项目的审批可能涉及多个部门，如发改、国土、环保、建设等，此时可能需要向当地的政府或专门的审批协调机构提出申请。
   • 实践做法：在实际操作中，各地政府通常会设立“一站式”服务窗口或专门的审批协调机构，以方便申请人办理跨部门或综合性的行政事务。

4. 特殊情况的履职申请：

   • 对于某些特殊情况下的履职申请，如涉及国家安全、重大公共利益等，可能需要向特定的国家机关或专门机构提出。例如，申请涉及国家安全的审批或许可，可能需要向国家安全部门或相关的专门机构提出。
   • 特别规定：这类特殊情况下的履职申请通常会有特别的法律法规或政策文件进行规定，申请人需要仔细查阅并遵守相关规定。

建议：

• 在申请依法履职前，建议申请人先明确自己的履职需求和涉及的行政领域。
• 然后，通过查询相关法律法规、政策文件或咨询当地行政机关的办事窗口，了解具体的负责部门和申请流程。
• 最后，按照规定的程序和要求向相应的部门提出申请。

后续行动：

• 如果您在申请依法履职过程中遇到任何问题或困难，如部门推诿、程序复杂等，可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。