结论：监理总监在逾期被法院执行的情况下能否投标，需分情况讨论，主要取决于是否被列入失信被执行人名单及招标文件的具体要求。以下是具体分析：

1. 若未被列入失信被执行人名单，一般可参与投标
   根据《最高人民法院关于公布失信被执行人名单信息的若干规定》，仅被法院执行但未被纳入失信名单的，法律未禁止其参与投标活动。此时，监理总监的投标资格主要受招标文件要求约束（如资质、业绩等），而非执行状态本身。

2. 若被列入失信被执行人名单，通常禁止投标
   根据《招标投标法实施条例》第三十二条，投标人若被列为失信被执行人，招标人可拒绝其投标。实践中，多数招标文件会明确要求投标人提供“未被列入失信被执行人名单”的证明（如信用中国截图）。若监理总监或其所在企业被列入名单，投标文件可能被直接否决。

3. 特殊情形：招标文件明确排除限制
   部分招标项目可能放宽限制，例如仅要求企业信用良好，不涉及个人执行状态。此时需仔细核查招标文件条款。若文件未明确禁止，理论上可参与投标，但需承担被质疑或投诉的风险。

建议行动：

• 立即通过“中国执行信息公开网”查询个人及企业是否被列入失信名单；
  
• 联系招标方确认资格要求，必要时提供执行案件的进展说明（如已履行完毕但未及时屏蔽）；
  
• 若已被列入失信名单，需尽快履行义务并申请法院屏蔽，恢复投标资格。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件处理方式。