拒不执行抚养权移送并不直接构成公安管辖的刑事案件，但可能涉及民事强制执行或刑事自诉程序。以下是对该问题的详细分析：
一、抚养权移送的法律性质
抚养权移送主要涉及的是民事法律关系，即父母与子女之间的权利义务关系。当一方拒不履行法院关于抚养权的判决或裁定时，这首先是一个民事执行问题，而非刑事犯罪问题。因此，单纯的拒不执行抚养权移送行为，并不直接触发公安机关的刑事立案程序。
二、民事强制执行程序
申请执行：
- 当一方拒不履行抚养权移送义务时，另一方可以向法院申请强制执行。
- 申请执行时，需要提交生效的法律文书（如判决书、裁定书）以及执行申请书等材料。
执行措施：
- 法院在受理执行申请后，会采取一系列执行措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产，限制被执行人的高消费等。
- 对于拒不履行抚养权移送义务的被执行人，法院还可以采取罚款、拘留等强制措施。
执行终结：
- 当被执行人履行了抚养权移送义务，或者法院采取了所有可能的执行措施后仍无法执行时，执行程序会终结。
三、刑事自诉程序（如涉及拒不执行判决、裁定罪）
构成要件：
- 如果被执行人的拒不执行行为情节严重，如隐藏、转移、变卖、毁损已被查封、扣押的财产，或者以暴力、威胁方法妨害或者抗拒执行等，可能构成拒不执行判决、裁定罪。
- 但需要注意的是，拒不执行抚养权移送本身并不直接构成该罪，除非该行为同时满足了拒不执行判决、裁定罪的其他构成要件。
自诉程序：
- 拒不执行判决、裁定罪在大多数情况下属于公诉案件，由公安机关立案侦查。
- 但在某些特定情况下，如被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的案件，被害人可以提起自诉。
- 如果抚养权移送案件中的拒不执行行为被认定为拒不执行判决、裁定罪，且符合自诉条件，那么另一方可以向法院提起自诉。
四、建议与后续行动
收集证据：
- 在申请强制执行或提起自诉前，务必收集好相关证据，如生效的法律文书、被执行人拒不履行的证据等。
咨询专业律师：
- 由于抚养权移送案件涉及复杂的法律关系和执行程序，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。不过，作为郭美娜律师，我可以直接为你提供这方面的法律咨询。
依法维权：
- 在维护自身权益时，务必依法进行，避免采取过激或违法的行为。
如有任何关于抚养权移送或相关法律问题的疑问，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细、更专业的法律建议。