法定代表人变更后，原法定代表人签订的无期限授权书是否有效，需分情况讨论：

1. 授权行为本身的有效性：

   • 若原法定代表人在其任期内，基于公司章程和法律规定，合法地代表公司签订了无期限的授权书，且该授权行为未违反法律法规的强制性规定或公司章程的限制，那么从授权行为本身来看，该授权书在签订时是有效的。

2. 法定代表人变更对授权书效力的影响：

   • 授权书内容未涉及法定代表人身份：如果授权书的内容并不特定于原法定代表人的身份，而是针对公司本身的某种权力或行为的授权（例如，授权某第三方代表公司进行某项业务操作），那么即使法定代表人发生变更，该授权书仍然有效。因为授权的对象是公司，而非特定的个人。
   • 授权书内容涉及法定代表人身份：如果授权书明确是基于原法定代表人的身份或职位而授予的（例如，授权原法定代表人个人代表公司签署特定文件），那么在法定代表人变更后，该授权书可能因授权主体的变更而失效。因为新的法定代表人并未被包含在该授权范围内。

3. 公司内部决策和程序的影响：

   • 如果公司内部有明确的决策程序或规定，要求特定类型的授权必须经过公司董事会、股东会或其他决策机构的批准，且原法定代表人在签订授权书时未遵循这些程序，那么该授权书可能因违反公司内部规定而无效。
   • 此外，如果公司在法定代表人变更后，通过内部决策程序明确撤销了原法定代表人的某些授权，那么被撤销的授权书将不再有效。

4. 相对人是否知情或应当知情：

   • 如果相对人（即被授权方）在法定代表人变更后，仍然基于原授权书与公司进行交易，且相对人不知情或不应知情法定代表人已变更的情况，那么从保护交易安全的角度出发，该授权书在相对人善意的情况下可能仍然被视为有效。但这种情况需要具体分析，且通常受到法律对善意相对人保护程度的限制。

法律建议：

• 对于公司而言，在法定代表人变更后，应及时审查并更新所有相关的授权书，以确保公司的授权行为符合最新的法律和公司章程要求。
• 对于相对人而言，在与公司进行交易时，应尽可能了解公司的最新情况，包括法定代表人的变更等，以避免因信息不对称而导致的交易风险。

可能后果：

• 如果因法定代表人变更导致原授权书失效，而相对人仍基于该授权书与公司进行交易，可能引发合同纠纷或法律责任问题。
• 公司可能因未及时更新授权书而面临内部管理混乱或外部交易风险。

有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况，给出更详细的法律建议。