针对您提出的问题，如果对方辱骂您，而您在互骂过程中被拘留了，您确实有权要求对方承担相应的责任。以下是我从法律角度为您提供的详细分析和建议：

1. 治安管理处罚角度：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，公然侮辱他人或多次发送侮辱信息干扰他人正常生活的行为，可能会受到五日以下拘留或五百元以下罚款的处罚；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
   • 在您的情况下，如果对方辱骂您的行为构成了公然侮辱或多次发送侮辱信息，且情节达到了一定的严重程度，那么对方也可能面临类似的治安管理处罚。

2. 刑事责任角度：

   • 若辱骂行为情节特别严重，可能构成侮辱罪或诽谤罪，需承担刑事责任。侮辱罪和诽谤罪均属于告诉才处理的犯罪（除非严重危害社会秩序和国家利益），即需被害人自行向法院提起诉讼。
   • 如果对方的辱骂行为导致您精神受到严重伤害，或者在社会上引起了恶劣影响，那么您有权向法院提起诉讼，要求对方承担刑事责任。

3. 您的权利与救济途径：

   • 您有权要求对方停止辱骂行为，并赔礼道歉、消除影响、恢复名誉。
   • 如果对方的辱骂行为给您造成了经济损失（如因精神压力导致的医疗费用等），您也有权要求对方进行赔偿。
   • 在您被拘留的情况下，如果认为拘留决定存在错误或不当，您可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。

4. 建议与行动：

   • 首先，收集并保留好对方辱骂您的证据，如录音、录像、短信、微信聊天记录等。
   • 其次，与对方进行沟通，尝试通过协商解决问题。如果协商无果，您可以考虑向当地公安机关报案，要求对方承担治安管理处罚责任。
   • 最后，如果对方的辱骂行为情节严重，且给您造成了较大的精神伤害或经济损失，建议您及时向我咨询，以便通过法律途径维护自己的合法权益。

总之，面对对方的辱骂行为，您有权要求对方承担相应的责任。在处理此类问题时，请务必保持冷静和理智，依法维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。