针对您提出的“行政诉讼检查监督迟迟不下受理通知书该怎么办”的问题，以下是我的详细解答：
了解相关法律规定：
- 根据《人民检察院行政诉讼监督规则(试行)》的相关规定，检察机关对行政诉讼实行法律监督，但监督范围主要限于生效判决、裁定、调解书，以及审判程序中审判人员的违法行为等。对于法院不受理也不书面答复当事人的情形，并未直接纳入监督范围。
- 同时，根据最高人民法院《关于人民法院推行立案登记制改革的意见》以及《关于人民法院登记立案若干问题的规定》，当事人可以向受诉人民法院或者上级法院投诉立案工作中存在的不接收诉状、接收诉状后不出具书面凭证等违法违纪情形。
采取的行动措施：
- 向原法院或上级法院投诉：
您可以直接向受理行政诉讼的法院或其上级法院投诉，反映法院迟迟不下受理通知书的情况。根据相关法律规定，法院有义务对投诉进行调查处理，并给予您相应的答复。
- 收集证据并考虑检察机关监督：
虽然检察机关对法院不受理也不书面答复当事人的情形没有直接纳入监督范围，但如果您能提供证据证明法院在立案环节存在违法行为（如故意拖延、不接收诉状等），检察机关在有证据的情况下也可以进行监督。因此，建议您在投诉的同时，积极收集相关证据，以备不时之需。
- 寻求法律援助或咨询：
如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业的法律援助或咨询。作为专业律师，我擅长处理刑事辩护、经济纠纷、交通事故、合同纠纷、侵权纠纷、行政纠纷等领域的问题，您可以随时向我咨询相关法律问题。
注意事项：
- 在采取任何行动之前，请确保您已经充分了解了相关法律规定和程序要求，以避免因操作不当而给自己带来不必要的麻烦。
- 在与法院或检察机关沟通时，请保持冷静和理性，清晰、准确地表达您的诉求和理由。
综上所述，面对行政诉讼检查监督迟迟不下受理通知书的情况，您可以通过向原法院或上级法院投诉、收集证据并考虑检察机关监督以及寻求法律援助或咨询等方式来维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。