医生没有诊断出病情，患者回家半个月后去世，医院是否应承担责任，需具体情况具体分析。以下是从法律角度对该问题的全面分析：

1. 医疗事故责任的构成：

   • 医疗事故责任通常要求医疗机构或医务人员在诊疗活动中存在过错，且该过错与患者的损害后果之间存在因果关系。
   • 在本题中，需要考察医生在诊断过程中是否存在疏忽、误诊等过错行为，以及这些行为是否直接导致了患者的死亡。

2. 过错行为的判断：

   • 要判断医生是否尽到了应有的诊疗义务，是否遵循了医疗规范和诊疗常规。
   • 如果医生因为疏忽、粗心或技能不足而未能正确诊断病情，可能构成过错。

3. 因果关系的认定：

   • 需要证明患者的死亡与医生的过错行为之间存在直接的因果关系。
   • 这通常需要通过医学鉴定、专家证言等方式来确认。

4. 医院可能承担的责任：

   • 如果医院被认定存在医疗事故责任，那么医院可能需要承担赔偿责任，包括医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等。
   • 具体的赔偿数额和赔偿方式会根据患者的实际情况、医院的过错程度以及相关法律法规来确定。

5. 特殊情况的考虑：

   • 如果患者的死亡是由于疾病本身的发展导致的，与医生的诊断行为无关，那么医院可能不需要承担责任。
   • 另外，如果患者或其家属在诊疗过程中存在过错，如隐瞒病情、不配合治疗等，也可能影响责任的划分。

综上所述，医生没有诊断出病情患者回家半个月后去世，医院是否应承担责任取决于多个因素的综合判断。如果你或你的家属遇到了类似的情况，建议尽快咨询专业律师，以便进行详细的法律分析和评估。作为专业律师，我可以为你提供进一步的法律咨询和帮助。