单位办理的居住证可以在一定程度上证明劳动关系。这是因为在申领居住证的过程中，通常需要提供与就业相关的证明材料。具体来说，这些材料可能包括工商营业执照、劳动合同、用人单位出具的劳动关系证明，或者其他能够证明有合法稳定就业的材料原件或复印件。

例如，在某些地方，如安徽省，根据《居住证暂行条例》和相关管理规定，公民离开常住户口所在地，到其他市、县居住半年以上，如果符合有合法稳定就业的条件，就可以在居住地申领居住证。在申领时，必须提交能够证明有合法稳定就业的材料，这些材料正是用来证明劳动关系的存在。

同样，在贵州省，居住证申领人也需要提供就业证明材料之一，这些材料同样可以体现劳动关系的存在。

因此，虽然居住证本身不是直接的劳动合同或劳动关系证明，但在申领过程中提交的就业证明材料，如劳动合同或用人单位出具的劳动关系证明，是具有法律效力的，可以在一定程度上证明劳动关系的存在。

总的来说，单位办理的居住证可以作为劳动关系存在的一种辅助证明，但并非最直接或唯一的证明。在需要证明劳动关系时，最好还是提供劳动合同、社保缴纳记录等更为直接和有力的证据。