被行政处罚的个人或单位，对方确实有权向处理机构的上级部门进行举报。以下是对此问题的详细分析：
一. 对方有权向处理机构的上级部门举报
法律依据：
- 《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十一条规定：“治安管理处罚由县级以上人民政府公安机关决定；其中警告、五百元以下的罚款可以由公安派出所决定。”这意味着，对于较为严重的处罚，如行政拘留等，需要由县级以上公安机关决定。因此，如果打架事件的处理涉及较严重的行政处罚，对方有权向处理机构的上级部门，即县级以上公安机关进行举报。
行政监督机制：
- 行政体系内部存在监督机制，允许对下级行政机关的具体行政行为进行监督。对方通过向处理机构的上级部门举报，可以推动问题的重新审查和解决，从而维护自身合法权益。
二. 举报途径及可能的结果
举报途径：
- 对方可以通过书面材料、电话、电子邮件等方式向处理机构的上级部门进行举报，说明情况并提供相关证据。
可能的结果：
- 上级部门会对举报进行调查核实，如果确实存在处理不公或违法行为，会依法进行纠正或处理。例如，如果县公安局未能依法处理打人事件，对方有权向市公安局进行申诉或举报，市公安局会对申诉或举报进行调查核实，并督促县公安局依法处理。
三. 建议与注意事项
- 我建议：如果对方认为处理机构的处理结果不公或存在违法行为，应及时收集并保留相关证据，以便在举报过程中提供有力支持。
- 注意事项：在举报过程中，应遵守法律法规，理性表达诉求，避免采取过激行为。同时，也要尊重处理机构的决定和程序，通过合法途径维护自身权益。
综上所述，对方在被行政处罚后，确实有权利向处理机构的上级部门进行举报。这是行政体系内部监督机制的一部分，有助于维护公平正义和法治秩序。