在员工生病期间，公司一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依法支付经济补偿或遵循相应程序。

详细分析：

1. 不能解除劳动合同的情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的明确规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，从3个月到24个月不等。
   • 若用人单位在医疗期内擅自解除劳动合同，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

2. 可以解除劳动合同的情况：

   • 医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：根据《劳动合同法》第四十条，若劳动者医疗期满后不能从事原工作，也不能从事用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿。
   • 员工存在严重违纪等过错情形：如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的过错情形，即使处于医疗期内，用人单位也有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。

法律建议：

• 公司在处理员工生病期间的问题时，应严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。
• 如果公司有任何不当行为，如违法解除劳动合同等，员工可以向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，或者向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

综上所述，公司在面对员工生病期间的问题时，应谨慎处理，遵循法律法规，确保合法合规地管理员工关系。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。