申请司法鉴定委托书交警大队可以写，但具体是否由交警大队出具，需根据实际情况而定。

1. 一般情况下：在交通事故处理过程中，如果需要进行司法鉴定以明确事故责任、损伤程度等，通常是由当事人或其委托的律师向具有司法鉴定资质的机构提出申请。这种情况下，委托书一般由当事人或其律师自行撰写，明确委托事项、鉴定机构、鉴定目的等，并签字盖章后提交给鉴定机构。交警大队在此过程中主要负责事故的调查和处理，不直接出具司法鉴定委托书。

2. 特殊情况下：在某些特定情况下，如交通事故涉及复杂的法律问题或争议较大的责任划分，交警大队可能会根据事故处理的需要，建议或要求当事人进行司法鉴定。此时，交警大队可能会协助当事人联系鉴定机构，甚至在某些地区或特定情况下，直接出具司法鉴定委托书给指定的鉴定机构。但这种情况并不普遍，具体还需根据当地交通管理部门的规定和实际操作流程来确定。

综上所述，申请司法鉴定委托书是否由交警大队出具，需根据具体情况而定。如果你在实际操作中遇到此类问题，建议直接咨询当地交通管理部门或专业律师以获取准确的指导和帮助。