在我国刑事诉讼中，保释通常被称为“取保候审”。关于拘留后何时可以申请取保候审，以下是我根据您的咨询给出的详细解答：
一、取保候审的适用时机
被拘留的人，在符合一定条件的情况下，从被拘留开始直至法院判决生效前的整个刑事诉讼过程中，均可申请取保候审。具体时机主要取决于案件的具体情况和犯罪嫌疑人的个人情况。
二、取保候审的适用条件
被拘留的人若满足以下条件之一，可以申请取保候审：
可能判处较轻刑罚：对于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的犯罪嫌疑人，可以申请取保候审。
不存在社会危险性：即使可能判处有期徒刑以上刑罚，但若采取取保候审不致发生社会危险性，同样可以申请。这里的“社会危险性”会综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪性质、悔罪表现、平时表现及案件相关情况等因素。
特殊身体状况或情形：患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，若采取取保候审不致发生社会危险性，也可申请。
羁押期限届满：当羁押期限届满而案件尚未办结时，需要继续调查或审理的，可以采取取保候审措施。
三、取保候审的申请流程
申请主体：取保候审的申请可由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人提出。
申请方式：申请需以书面形式提交给办案机关，并说明申请理由及拟采取的保证方式（如保证金或保证人）。
决定机关：取保候审的决定权在司法机关，包括公安机关、人民检察院和人民法院。具体由哪个机关决定取决于案件所处的诉讼阶段。
保证措施：取保候审并非无条件，通常需要犯罪嫌疑人或被告人提供保证人或交纳保证金，并保证遵守相关法律法规，如不离开所居住的市、县，不干扰证人作证等。
四、总结与建议
取保候审是一项重要的法律制度，旨在保障犯罪嫌疑人或被告人的合法权益，同时确保诉讼活动的顺利进行。若您或您的亲友面临被拘留的情况，且认为符合取保候审的条件，建议尽快咨询专业律师，以便获取更准确的法律建议和帮助，并准备相关的申请材料，按照法定程序向办案机关提出申请。我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律指导和支持。