当劳务派遣工被辞退时，申请赔偿的过程需要遵循一定的法律程序和原则。以下是根据相关法律法规为您提供的详细解答：
一、明确赔偿主体
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位是用人单位，与劳务派遣工之间存在直接的劳动合同关系。因此，当劳务派遣工被辞退时，其赔偿主体应为劳务派遣单位，而非用工单位（即实际使用劳动者的单位）。
二、了解赔偿依据与原则
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第六十五条规定了用工单位可以将劳动者退回劳务派遣单位的情形，以及劳务派遣单位可以依法解除劳动合同的条件。
赔偿原则：
- 劳务派遣工的赔偿应遵循合法、公平、公正的原则，确保劳动者的合法权益得到保障。
三、不同情形下的赔偿方式
因劳动者过错被辞退：
- 若劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，用工单位可将劳动者退回劳务派遣单位，劳务派遣单位可依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿金或赔偿金。
无过失性辞退：
- 若劳动者患病或非因工负伤在医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作，或劳动者不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任，或劳动合同订立时客观情况发生重大变化致使合同无法履行且协商不成，用工单位应提前30日书面通知或额外支付一个月工资后，将劳动者退回劳务派遣单位。劳务派遣单位需按劳动者在本单位工作年限支付经济补偿金（每满一年支付一个月工资）。
经济性裁员：
- 若劳务派遣单位因企业破产法重整、生产经营困难、转产/重大技术革新需裁减人员等情形进行经济性裁员，应提前30日向工会或全体职工说明情况并听取意见，向劳动行政部门报告后实施裁员，并按劳动者在本单位工作年限支付经济补偿金（标准同上）。
违法辞退：
- 若劳务派遣单位或用工单位违反法律规定解除劳动合同，劳务派遣单位需按经济补偿标准的两倍向劳动者支付赔偿金（即每满一年支付两个月工资）。若用工单位违法退回劳动者，由劳动行政部门责令改正；情节严重的给予行政处罚。
四、特殊注意事项
- 同工同酬原则：在计算经济补偿金或赔偿金时，应确保劳务派遣工与同岗位正式员工享受同等待遇。
- 代通知金适用条件：仅适用于无过失性辞退中未提前30日书面通知的情形，标准为劳动者上月工资。
- 维权途径：若对赔偿金额或处理结果有异议，劳动者可通过劳动仲裁或诉讼维护自身权益。
五、申请赔偿的具体步骤
- 收集证据：首先，劳动者应收集与辞退相关的所有证据，包括劳动合同、辞退通知书、工资单、社保缴纳记录等。
- 与劳务派遣单位协商：尝试与劳务派遣单位进行协商，看是否能就赔偿事宜达成一致。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据和材料。
- 提起诉讼：若对劳动仲裁结果不满意，劳动者还可以依法向人民法院提起诉讼。
综上所述，劳务派遣工被辞退时，应明确赔偿主体为劳务派遣单位，并根据不同情形选择相应的赔偿方式。在申请赔偿过程中，劳动者应收集好相关证据，并依法通过协商、劳动仲裁或诉讼等途径维护自身权益。