针对您提出的问题，“对方非法行医被处罚后可以向法院起诉对方刑事案件吗”，首先我们需要明确一点：非法行医行为可能同时涉及民事责任和刑事责任。下面我将从两个方面为您详细解答：
一、关于民事诉讼
诉讼权利：
- 当患者因非法行医行为遭受人身伤害或财产损失时，患者及其家属有权向法院提起民事诉讼，要求非法行医者承担民事赔偿责任。这包括医疗费、误工费、精神损害赔偿等多项费用。
诉讼证据：
- 在提起民事诉讼时，您需要收集相关证据来证明非法行医行为的存在以及您所遭受的损害后果。这些证据可能包括病历、医疗费用单据、非法行医者的行医记录等。
法律依据：
- 根据《民法典》等相关法律规定，即使非法行医者已经承担了刑事责任，也并不影响其依法承担侵权责任。
二、关于刑事诉讼
刑事责任：
- 非法行医行为如果情节严重，可能构成非法行医罪，需要承担刑事责任。这通常涉及非法行医者未取得医生执业资格而擅自行医，且情节严重到足以构成犯罪的程度。
刑事诉讼流程：
- 非法行医被刑拘后，会开启刑事诉讼流程。公安部门会进行侦查，收集证据以证实犯罪事实。如果证据确凿，案件会移交检察机关审查起诉。检察机关审查后，如果认为符合起诉条件，会提起公诉，案件交由法院审理。
定罪量刑：
- 法院会根据案件的具体情况，按照刑法规定作出判决。非法行医罪的刑罚可能包括有期徒刑、罚金等。具体量刑会根据非法行医的严重程度、造成的损害后果等因素来确定。
三、综合建议
- 如果您因非法行医行为遭受了损害，您可以先考虑提起民事诉讼，要求非法行医者承担民事赔偿责任。同时，您也可以向相关执法部门举报非法行医行为，以追究其刑事责任。
- 在提起任何诉讼之前，请务必收集好相关证据，以确保您的诉求能够得到法院的支持。
- 如果您对法律程序不熟悉，建议咨询专业律师，以获得更具体的法律建议和指导。
综上所述，对方非法行医被处罚后，您可以向法院提起民事诉讼要求对方承担民事赔偿责任；同时，如果非法行医行为构成犯罪，也可以由执法部门提起刑事诉讼追究其刑事责任。