当您的车子被追尾且对方全责却不肯报保险时，您可以按照以下步骤来处理：

一、保留现场证据

首先，请务必拍照留存现场情形、车辆受损状况、双方车牌以及事故全景等证据。这些照片将作为后续协商或诉讼的重要依据。

二、与对方沟通

尝试与对方进行沟通，明确告知其不报保险将需要自行承担赔偿责任。如果对方仍然拒绝报保险或协商，请保存好通话记录或聊天记录作为证据。

三、自行垫付维修费用并保管凭证

在协商无果的情况下，您可以先自行垫付维修费用，并确保保管好发票、维修清单等凭证。这些凭证将用于证明您的损失情况。

四、法律途径解决

1. 申请代位求偿：

   • 如果您的车辆有车损险，您可以向自己的保险公司申请代位求偿。保险公司会先行赔付您的损失，并代您向对方追偿。
   • 请注意，代位求偿需要符合保险公司的规定和流程，具体操作请咨询您的保险公司。

2. 提起民事诉讼：

   • 如果代位求偿不可行或协商仍然无果，您可以向事故发生地的基层人民法院提起民事诉讼。
   • 在起诉时，您需要提交起诉状以及事故责任认定书、现场照片、车辆维修发票、维修清单、定损报告等证据材料。
   • 法院将依法进行审理，并作出判决。如果对方仍然不履行赔偿义务，您可以申请强制执行。

五、注意事项

• 在整个处理过程中，请保持冷静和理性，避免与对方发生不必要的争执。
• 请务必保留好所有相关证据和凭证，以便后续使用。
• 如果涉及人身损害或其他复杂情况，请及时咨询专业律师以获取更详细的法律建议。

总之，当遇到对方追尾全责却不肯报保险的情况时，您可以通过保留证据、与对方沟通、自行垫付维修费用并保管凭证以及通过法律途径解决等方式来维护自己的权益。